Cách giải : Một chút biến đổi tương đương ta đưa bài toán về dạng dễ hơn.
$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\le(1+ab)(a^5+b^5)$ (do đk bài toán)
$\Leftrightarrow a^5+b^5+a^2b^2(a+b)\le a^5+b^5+ab(a^5+b^5)$
$\Leftrightarrow a^2b^2(a+b)\le ab(a^5+b^5)$
$\Leftrightarrow ab(a+b)\le a^5+b^5$
$\Leftrightarrow ab(a+b)\le a^3+b^3$ (1)
Do a,b là các số dương bất đẳng thức (1) dễ dàng chứng minh bằng 2 cách :
1. Sử dụng bđt AM-GM (Cauchy) : $a^3+a^3+b^3\ge 3a^2b;b^3+b^3+a^3\ge 3ab^2$ Rồi cộng lại là xong
2. Biền đổi tương đương tiếp (1) $\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\ge 0$ (Đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
@@: hieua Ta có thể chứng mình $a^3+b^3\ geq ab(a+b)$ như sau
$a^2+b^2 \geq 2ab$ $\Rightarrow a^2-ab+b^2 \geq ab$ $\Rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2) \geq ab(a+b)$
$<=> a^3+b^3 \geq ab(a+b)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-11-2013 - 16:14