Đến nội dung

Hình ảnh

CM: $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

a)Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$

 

b)Cho $0< a,b,c< 1$. Chứng minh có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 

  •    $a(1-b)> \frac{1}{4}$
  •    $b(1-c)> \frac{1}{4}$
  •    $c(1-a)> \frac{1}{4}$

 

Mong mọi người giúp giùm 2 bài này. 



#2
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

 

b)Cho $0< a,b,c< 1$. Chứng minh có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 

  •    $a(1-b)> \frac{1}{4}$
  •    $b(1-c)> \frac{1}{4}$
  •    $c(1-a)> \frac{1}{4}$

 

Ta có :

$a(1-a)=a-a^{2}\leq \frac{1}{4}$ ( dễ dàng chứng minh bằng phép biến đổi tương đương )

Chứng minh tương tự : $b(1-b)\leq \frac{1}{4};c(1-c)\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{64}$

Mà từ giả thiết ta có :

$gt\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)> \frac{1}{64}$

Suy ra mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 trong các BĐT của giả thiết là sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 10-11-2013 - 09:02

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3
pluswith

pluswith

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Cách giải : Một chút biến đổi tương đương ta đưa bài toán về dạng dễ hơn.

$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\le(1+ab)(a^5+b^5)$ (do đk bài toán)

$\Leftrightarrow a^5+b^5+a^2b^2(a+b)\le a^5+b^5+ab(a^5+b^5)$

$\Leftrightarrow a^2b^2(a+b)\le ab(a^5+b^5)$

$\Leftrightarrow ab(a+b)\le a^5+b^5$

$\Leftrightarrow ab(a+b)\le a^3+b^3$ (1)

Do a,b là các số dương bất đẳng thức (1) dễ dàng chứng minh bằng 2 cách :

1. Sử dụng bđt AM-GM (Cauchy) : $a^3+a^3+b^3\ge 3a^2b;b^3+b^3+a^3\ge 3ab^2$ Rồi cộng lại là xong

2. Biền đổi tương đương tiếp (1) $\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\ge 0$ (Đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

@@: hieua Ta có thể chứng mình $a^3+b^3\ geq ab(a+b)$ như sau 

$a^2+b^2 \geq 2ab$ $\Rightarrow a^2-ab+b^2 \geq ab$ $\Rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2) \geq ab(a+b)$ 

$<=> a^3+b^3 \geq ab(a+b)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-11-2013 - 16:14

Quyết tâm rèn luyện hình hc :wub:  


#4
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

a)Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$

 

 

Ta có : $gt\Rightarrow \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{3}+b^{3}}=1$

$a^{2}+b^{2}\leq \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{3}+b^{3}}+ab\Leftrightarrow a^{5}+a^{3}b^{2}+b^{5}+a^{2}b^{3}\leq a^{5}+b^{5}+a^{4}b+ab^{4}\Leftrightarrow a^{3}b(a-b)-ab^{3}(a-b)\geq 0\Leftrightarrow ab(a^{2}-b^{2})(a-b)\geq 0\Leftrightarrow ab(a+b)(a-b)^{2}\geq 0$

BĐT cuối luôn đúng do  $a;b>0$

Vậy ta có $Q.E.D$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#5
NMDuc98

NMDuc98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

a)Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$

 

b)Cho $0< a,b,c< 1$. Chứng minh có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 

  •    $a(1-b)> \frac{1}{4}$
  •    $b(1-c)> \frac{1}{4}$
  •    $c(1-a)> \frac{1}{4}$

 

Mong mọi người giúp giùm 2 bài này. 

b) 

Từ:

$a(1-b)> \frac{1}{4}$

$b(1-c)> \frac{1}{4}$

$c(1-a)> \frac{1}{4}$

$a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{64}$

Vì $0<a,b,c<1$=> $(1-a),(1-b),(1-c)$ dương

Áp dụng BDT Cô-si ta có: 

$a(1-a)\leq \left ( \frac{a+1-a}{2} \right )^2=\frac{1}{4}$

Tương tự: 

$b(1-b)\leq \frac{1}{4}$

$c(1-c)\leq \frac{1}{4}$

$=>a(1-a)b(1-b)c(1-c)\leq \frac{1}{64}$

=> Ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức ban đầu là sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 10-11-2013 - 09:16

Nguyễn Minh Đức

Lặng Lẽ

THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh