Cho tam giác $ABC$. $I$ là điểm bất kì bên trong mặt phẳng. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Qua $M, N ,P$ lần lượt vẽ các đường thẳng $\Delta _M$, $\Delta _N$, $\Delta _P$ song song với $AI$, $BI$, $CI$. Chứng minh $\Delta _M$, $\Delta _N$, $\Delta _P$ đồng quy
Ta xét một bài toán phụ sau coi như một bổ đề :
Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ và $I$ là một điểm bất kì trên mặt phẳng. $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên $BC,CA,AB$. $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $ZX,XY,YZ$. Chứng minh rằng các đường thẳng $\Delta _{D},\Delta _{E},\Delta _{F}$ lần lượt qua $D,E,F$ và vuông góc với $CA,AB,BC$ đồng quy.
Chứng minh :
Gọi $H,L,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$.
Ta có : $$FB^2-FC^2=(\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FC})(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC})=2\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{FH}=2\overrightarrow{CB}\left ( \overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AF} \right )=\overrightarrow{CB}\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AY}-\overrightarrow{AZ} \right )=\overrightarrow{CB}\left ( \overrightarrow{ZB}-\overrightarrow{CY} \right )=\dfrac{1}{2}\left ( CB^2+ZB^2-CZ^2 \right )-\dfrac{1}{2}(CB^2+CY^2-YB^2)=\dfrac{1}{2}(ZB^2-ZC^2+YB^2-YC^2)$$
Hoàn toàn tương tự thì :
$$DC^2-DA^2=\dfrac{1}{2}\left ( ZC^2-ZA^2+XC^2-XA^2\right ),\;\;\;EA^2-EB^2=\dfrac{1}{2}\left ( XA^2-XB^2+YA^2-YB^2 \right )$$
Suy ra $\left ( FB^2-FC^2 \right )+(DC^2-DA^2)+(EA^2-EB^2)=0$
Theo định lí $Carnot$ thì $\Delta _{D},\Delta _{E},\Delta _{F}$ đồng quy.
TRỞ LẠI BÀI TOÁN :
Qua các điểm $A,B,C$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $AI,BI,CI$. Chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C'$ như hình vẽ.
Khi đó ta thấy điểm $I$ có hình chiếu $A,B,C$ lần lượt trên ba cạnh $B'C',C'A',A'B'$ của tam giác $ABC$, $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$.
Lại có $\Delta _{M}\parallel IA,IA\perp B'C'\Rightarrow \Delta _{M}\perp B'C'$
Tương tự $\Delta _{N}\perp C'A',\Delta _{P}\perp A'B'$
Theo bổ đề ta có $\Delta _{M},\Delta _{N},\Delta _{P}$ đồng quy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 10-11-2013 - 21:15