Đến nội dung


Hình ảnh

Viết PTMC có tâm thuộc (P), tiếp xúc với $d$ và $d'$ tại $M,N$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Công Nghệ Thông Tin - ĐHQG TPHCM

Đã gửi 10-11-2013 - 16:27

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d,d'$ chéo nhau và vuông góc với nhau. AB là đoạn vuông góc chung của $d,d'$. Điểm $M(2;-2;1)$ thuộc $d$, điểm $N(-2;0;1)$ thuộc $d'$ và $AM+BN=AB$. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng $(P):2x+2y+z-3=0$, tiếp xúc với hai đường thẳng $d$ và $d'$ lần lượt tại $M$ và $N,$ biết hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên đường thẳng $AB$ là $H(0,1,2)$ 

 


SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 10-07-2015 - 23:52

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d,d'$ chéo nhau và vuông góc với nhau. AB là đoạn vuông góc chung của $d,d'$. Điểm $M(2;-2;1)$ thuộc $d$, điểm $N(-2;0;1)$ thuộc $d'$ và $AM+BN=AB$. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng $(P):2x+2y+z-3=0$, tiếp xúc với hai đường thẳng $d$ và $d'$ lần lượt tại $M$ và $N,$ biết hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên đường thẳng $AB$ là $H(0,1,2)$ 

Đề bài không nói rõ $A$ thuộc $d$ hay $d'$.Vậy xin bổ sung dữ kiện $A\in d;B\in d'$ (vì nếu $A\in d';B\in d$ thì không thể có $AM+BN=AB$)

Giả sử tồn tại mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với $d$ và $d'$ lần lượt tại $M$ và $N$.

Qua $M$ dựng mp $(P)$ vuông góc với $d$, qua $N$ dựng mp $(Q)$ vuông góc với $d'$ ; $(P)\cap (Q)=t$

Gọi $R,S,T$ là các điểm sao cho các tứ giác $ABNR,MARS,NRST$ đều là hình chữ nhật ---> đường thẳng $ST$ chính là $t$.

$d$ và $d'$ là các tiếp tuyến của mặt cầu tâm $I\Rightarrow IM$ _|_ $d$ và $IN$ _|_ $d'\Rightarrow I\in t$

$SM=BN< AB< SN$

$TM> AB> AM=TN$

Mà $I\in t$ và $IM=IN \Rightarrow I$ nằm giữa $S$ và $T$ (tức là $I$ thuộc đoạn $ST$, $I\not\equiv S,I\not\equiv T$)

$\Rightarrow H$ thuộc đoạn $AB$ ; $H\not\equiv A$ ; $H\not\equiv B$

Xét $3$ TH :

$1)$ Vector chỉ phương của $AB$ (và $HA$, $HB$) có dạng $(1;a_2;a_3)$ $\Rightarrow AB:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{a_2}=\frac{z-2}{a_3}$ 

$A$ chính là giao điểm (khác $H$) của $AB$ với mặt cầu đường kính $HM$ có pt $\left ( x-1 \right )^2+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^2+\left ( z-\frac{3}{2} \right )^2=\frac{7}{2}$

$\Rightarrow x_A=\frac{2-3a_2-a_3}{1+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$ (1)

$B$ chính là giao điểm (khác $H$) của $AB$ với mặt cầu đường kính $HN$ có pt $\left ( x+1 \right )^2+\left ( y-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( z-\frac{3}{2} \right )^2=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow x_B=-\frac{2+a_2+a_3}{1+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$ (2)

Cặp vector chỉ phương của mp $(HAM)$ là $\overrightarrow{a}=(1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{HM}=(2;-3;-1)\Rightarrow$ một vector pháp tuyến của mp $(HAM)$ là $\overrightarrow{n_1}=(3a_3-a_2;2a_3+1;-2a_2-3)$

Cặp vector chỉ phương của mp $(HBN)$ là $\overrightarrow{a}=(1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{NH}=(2;1;1)\Rightarrow$ một vector pháp tuyến của mp $(HBN)$ là $\overrightarrow{n_2}=(a_2-a_3;2a_3-1;1-2a_2)$

$(HAM)$ _|_ $(HBN) \Rightarrow \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0\Rightarrow a_{3}^{2}+4a_2a_3+(3a_{2}^{2}+4a_2-4)=0$

$\Rightarrow a_3=-2-a_2$ hoặc $a_3=2-3a_2$

+ Nếu $a_3=-2-a_2$.Thay vào (2) $\Rightarrow x_B=0\Rightarrow y_B=1$ ; $z_B=2$ $\Rightarrow B\equiv H$ (loại)

+ Nếu $a_3=2-3a_2$.Thay vào (1) $\Rightarrow x_A=0\Rightarrow y_A=1$ ; $z_A=2$ $\Rightarrow A\equiv H$ (loại)

$2)$ Vector chỉ phương của $AB$ (và $HA$, $HB$) có dạng $(0;1;a_3)$

   Khi đó $A$ thuộc đường tròn $\left ( \mathbb{C}_1 \right )$ :

   $\left\{\begin{matrix}x=0\\\left ( y+\frac{1}{2} \right )^2+\left ( z-\frac{3}{2} \right )^2=\frac{5}{2} \end{matrix}\right.$

   Và $B$ thuộc đường tròn $\left ( \mathbb{C}_2 \right )$ :

   $\left\{\begin{matrix}x=0\\\left ( y-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( z-\frac{3}{2} \right )^2=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

   Cặp vector chỉ phương của mp $(HAM)$ là $\overrightarrow{a}=(0;1;a_3)$ và $\overrightarrow{HM}=(2;-3;-1)\Rightarrow$ một vector pháp tuyến của mp $(HAM)$ là $\overrightarrow{n_1}=(3a_3-1;2a_3;-2)$

   Cặp vector chỉ phương của mp $(HBN)$ là $\overrightarrow{a}=(0;1;a_3)$ và $\overrightarrow{NH}=(2;1;1)\Rightarrow$ một vector pháp tuyến của mp $(HBN)$ là $\overrightarrow{n_2}=(1-a_3;2a_3;-2)$

   $(HAM)$ _|_ $(HBN) \Rightarrow \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0\Rightarrow a_{3}^{2}+4a_3+3=0$

$\Rightarrow a_3=-1$ hoặc $a_3=-3$

  + $a_3=-1\Rightarrow A(0;0;3)$ (vì $A\in (\mathbb{C}_1)$) và $B\equiv H$ (vì khi đó $AH$ là tiếp tuyến của $(\mathbb{C}_2)$ mà $B\in \left ( \mathbb{C}_2 \right )$) ---> loại.

  + $a_3=-3\Rightarrow B(0;\frac{6}{5};\frac{7}{5})$ (vì $B\in (\mathbb{C}_2)$) và $A\equiv H$ (vì khi đó $BH$ là tiếp tuyến của $(\mathbb{C}_1)$ mà $A\in \left ( \mathbb{C}_1 \right )$) ---> loại.

$3)$ Vector chỉ phương của $AB$ (và $HA$, $HB$) là $(0;0;1)$
   Khi đó $A$ và $B$ phải nằm trên đường thẳng :
   $(s):\left\{\begin{matrix}x=0\\y=1 \end{matrix}\right.$
   Ngoài ra $A$ phải thuộc mặt cầu đường kính $HM$ và $B$ phải thuộc mặt cầu đường kính $HN$
   $\Rightarrow A$ và $B$ là các điểm $(0;1;2)$ và $(0;1;1) \Rightarrow A\equiv H$ hoặc $B\equiv H$ (loại)
 
Tóm lại, trong mọi trường hợp, không có điểm $I$ nào, nói cách khác, không tồn tại mặt cầu nào thỏa mãn tất cả các điều kiện của đề bài  :icon10:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-07-2015 - 17:35

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh