Đến nội dung

Hình ảnh

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3.cmr $\left ( a+b-c \right )(b+c-a)(c+a-b)\leq a^{2}b^{2}c^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
raquaza

raquaza

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3.cmr $\left ( a+b-c \right )(b+c-a)(c+a-b)\leq a^{2}b^{2}c^{2}$ 

 



#2
arsenal20101998

arsenal20101998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

BĐT cần CM tương đương

$(a+b+c)\prod (a+b-c)\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 16S^2\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 4S\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow \frac{abc}{R}\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow R\geq \frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\\sin c}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow {\sin A+\sin B+\\sin c}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét các góc $x;y\in \left ( 0;\pi \right )$ có 

$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\leq 2\sin \frac{x+y}{2}(0< \cos \frac{x-y}{2}<\leq 1)$

Áp dụng BĐT trên ta đc $\sin A+\sin B+\sin C+\sin \frac{\pi }{3}\leq 2\sin \frac{A+B}{2}+2\sin \frac{C+\frac{\pi }{3}}{2}\leq 4\sin \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{4}=4\sin \frac{\pi }{3}(A+B+C=\pi )$

Suy ra $\sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin \frac{\pi }{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy ta có dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsenal20101998: 12-11-2013 - 19:49





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh