Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 .Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-04-2021 - 17:58
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 .Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-04-2021 - 17:58
Làm nhầm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 12-11-2013 - 22:57
$\sum \dfrac{a^2}{b^2+1}=\sum \dfrac{\dfrac{a^2}{b^2}}{a^2c^2+1} \geq \dfrac{( \sum \dfrac{a}{b})^3}{3+ \sum a^2b^2}$
$ \sum a^2b^2 \leq \dfrac{(a+b+c)^4}{27}=3$
$\leftrightarrow \dfrac{( \sum \dfrac{a}{b})^3}{3+ \sum a^2b^2} \geq \dfrac{9}{3+3}=1,5$
chỗ bôi đỏ phía trên tử là mũ 2 chứ bạn
còn chỗ bôi màu xanh thì bạn giải thích giùm mình được không
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 12-11-2013 - 22:53
chỗ bôi đỏ phía trên tử là mũ 2 chứ bạn
còn chỗ bôi màu xanh thì bạn giải thích giùm mình được không
Mình nhầm 1 chỗ rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 12-11-2013 - 22:56
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
$\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$
Tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được :
$\sum \frac{a^2}{b^2+1}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3-\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}$
Sax , hình như nhầm rồi đề mình làm lại
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 12-11-2013 - 23:35
$\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$
Tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được :
$\sum \frac{a^2}{b^2+1}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3-\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}$
Bạn nhầm đoạn này rồi. $\dfrac{a^2}{b^2+1} \ne a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}$
Làm nhầm
Áp dụng Xvác(Bunhia đặc biệt) ta có:
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1}$ $\geq$$ \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}$$\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a+b+c+3}$(vì a2+b2+c2$\geq$a+b+c)=$\frac{3}{2}$
=> dpcm dấu = xảy ra <=> a=b=c=1
nhầm.sai đó.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firetiger05: 11-12-2013 - 18:40
Học! Học nữa! Học mãi
Yêu Toán Nồng Cháy
Quyết đậu chuyên Tin Lam Sơn
Ta có $VT=\sum \frac{ a^4}{a^2b^2+a^2}\geq \frac{\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2}{\sum a^2b^2+\sum a^2}$
ta cần chứng minh
$\frac{\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2}{\sum a^2b^2+\sum a^2}\geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2\left ( a^4+b^4+c^4 \right )+\sum a^2b^2\geq 3\left ( \sum a^2 \right )$
mà
$\left ( a^4+b^4+c^4 \right )+\sum a^2b^2\geq ab^3+bc^3+ca^3+ba^3+cb^3+ac^3$
(do $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$)
$\Rightarrow 2\left ( a^4+b^4+c^4 \right )+\sum a^2b^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)$ (đpcm)
(do $a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$)
dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 11-12-2013 - 18:23
Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên
Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!! Mưa ơi đừng rơi nữa .......... .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta được: $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2+1}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^2b^2+a^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}+a^2+b^2+c^2}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^3+3}\geqslant \frac{3}{2}$ (Do $\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+3}-\frac{3}{2}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)-9}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)}\geqslant 0$)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh