Chủ đề này có 9 trả lời

[neversaynever99]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 .Chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-04-2021 - 17:58

[Johan Liebert]

Làm nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 12-11-2013 - 22:57

[hoctrocuanewton]

$\sum \dfrac{a^2}{b^2+1}=\sum \dfrac{\dfrac{a^2}{b^2}}{a^2c^2+1} \geq \dfrac{( \sum \dfrac{a}{b})^3}{3+ \sum a^2b^2}$

 

$ \sum a^2b^2 \leq \dfrac{(a+b+c)^4}{27}=3$

 

$\leftrightarrow \dfrac{( \sum \dfrac{a}{b})^3}{3+ \sum a^2b^2} \geq \dfrac{9}{3+3}=1,5$

chỗ bôi đỏ phía trên tử là mũ 2 chứ bạn

còn chỗ bôi màu xanh thì bạn giải thích giùm mình được không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 12-11-2013 - 22:53

[Johan Liebert]

chỗ bôi đỏ phía trên tử là mũ 2 chứ bạn

còn chỗ bôi màu xanh thì bạn giải thích giùm mình được không

 

Mình nhầm 1 chỗ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 12-11-2013 - 22:56

[Near Ryuzaki]

 

 

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

 

$\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được :

$\sum \frac{a^2}{b^2+1}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3-\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}$

Sax , hình như nhầm rồi đề mình làm lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 12-11-2013 - 23:35

[lovemath99]

 

$\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được :

$\sum \frac{a^2}{b^2+1}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3-\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}$

 

 

Bạn nhầm đoạn này rồi. $\dfrac{a^2}{b^2+1} \ne a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}$

[firetiger05]

Làm nhầm

Áp dụng Xvác(Bunhia đặc biệt) ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1}$ $\geq$$ \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}$$\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a+b+c+3}$(vì a²+b²+c²$\geq$a+b+c)=$\frac{3}{2}$

=> dpcm dấu = xảy ra <=> a=b=c=1

nhầm.sai đó.  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firetiger05: 11-12-2013 - 18:40

[Frankie nole]

Ngược dấu rồi bạn ơi

[1110004]

Ta có $VT=\sum \frac{ a^4}{a^2b^2+a^2}\geq \frac{\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2}{\sum a^2b^2+\sum a^2}$

 

ta cần chứng minh 

 

$\frac{\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2}{\sum a^2b^2+\sum a^2}\geq \frac{3}{2}$

 

 

$\Leftrightarrow 2\left ( a^4+b^4+c^4 \right )+\sum a^2b^2\geq 3\left ( \sum a^2 \right )$

 

mà 

$\left\{\begin{matrix}a^4+a^2b^2\geq 2a^3b\\ a^4+a^2c^2\geq 2a^3c\\ b^4+b^2a^2\geq 2b^3a\\ b^4+b^2c^2\geq 2b^3c\\ c^4+c^2a^2\geq 2c^3a\\ c^4+c^2b^2\geq 2c^3b\end{matrix}\right.$

 

cho nên

 

$\left ( a^4+b^4+c^4 \right )+\sum a^2b^2\geq ab^3+bc^3+ca^3+ba^3+cb^3+ac^3$

 

$\Rightarrow 2\left ( a^4+b^4+c^4 \right )+\sum a^2b^2 \geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$

(do $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$)

$\Rightarrow 2\left ( a^4+b^4+c^4 \right )+\sum a^2b^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)$  (đpcm)

(do $a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$)

dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 11-12-2013 - 18:23

[KietLW9]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta được: $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2+1}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^2b^2+a^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}+a^2+b^2+c^2}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^3+3}\geqslant \frac{3}{2}$ (Do $\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+3}-\frac{3}{2}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)-9}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)}\geqslant 0$)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1