1 reply to this topic

[dinosaur]

1) Tìm m để PT: $\left ( 6+2\sqrt{7} \right )^{x}$ + $\left ( 2-m \right )$$\left ( 3-\sqrt{7} \right )^{x}$ - $\left ( m+1 \right )$$2^{x}$ = 0 có nghiệm

2) Cho a>0.Chứng minh hệ PT sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} e^{x}-e^{y}=ln(1+x)-ln(1+y) & & \\ y-x=a& & \end{matrix}\right.$

Edited by dinosaur, 22-11-2013 - 22:28.

[chiyeuminhem]

Bài 1.
Tạm thời t chưa làm ra
Bài 2.
Điều kiện $x>-1, y>-1$
Từ pt thứ hai của hệ suy ra $y=x+a$, khi đó pt thứ nhất của hệ có dạng:
$$e^x - e^{x+a} = ln(1+x) - ln(1+x+a)$$
$$\Leftrightarrow f(x) = e^x - e^{x+a} - ln(1+x) + ln(1+x+a) =0. \qquad (*)$$
Xét hàm $y=f(x)$ trên tập $D = (-1; +\infty)$, ta có:
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& e^x - e^{x+a} - \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+x+a} \\
&=& e^x(1-e^a) - \frac{a}{(1+x)(1+x+a)} <0, \quad \forall a>0,
\end{eqnarray*}
$\Rightarrow$ Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $D$.
Mặt khác, ta lần lượt có:
$$\lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x) = e^{-1} - e^{a-1} - (-\infty) + lna = +\infty,$$
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) &=& \lim_{x\rightarrow +\infty} \left[e^x(1-e^a) + ln\frac{1+x+a}{1+x} \right] \\
&=& e^{+\infty} (1-e^a) + ln1 = -\infty.
\end{eqnarray*}
Từ đó, suy ra với $a>0$ pt $(*)$ luôn có nghiệm duy nhất, tức là hệ có nghiệm duy nhất.

Edited by chiyeuminhem, 09-01-2014 - 15:37.