6 replies to this topic

[maitram]

Cho ko gian con L của Rⁿ , xét hệ $\begin{Bmatrix} \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m} \end{Bmatrix}$ độc lập tuyến tính (ĐLTT) . Khi đó hệ  $\begin{Bmatrix} \beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{m} \end{Bmatrix}$ với $\beta _{i}=\sum_{j=1}^{i}\alpha _{i}$ với mọi i , $1\leqslant i\leqslant m$ cũng ĐLTT.

 

Đây là bài làm của mình, mong các bạn cho ý kiến:

Ta có :

$\beta =\begin{Bmatrix} \alpha _{1};\alpha _{1}+\alpha _{2};...;\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{m} \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow \beta =\alpha +\begin{Bmatrix} 0;\alpha _{1};...;\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{m-1} \end{Bmatrix}$

Vì $\begin{Bmatrix} \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m} \end{Bmatrix}$ ĐLTT

nên $\begin{Bmatrix} 0;\alpha _{1};...;\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{m-1} \end{Bmatrix}$ cũng ĐLTT

$\Rightarrow \beta$ ĐLTT

Vậy phát biểu đúng

 

 

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

$$rank \begin{pmatrix} \alpha _1\\ \alpha _1 + \alpha _2\\ ...\\ \alpha _1+\alpha _2+...+\alpha _m\end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix} \alpha _1\\ \alpha _2\\ ...\\ \alpha _m\end{pmatrix}$$

Ta có điều này từ các phép biến đổi sơ cấp (lấy hàng dưới trừ hàng trên).

Nên sự ĐLTT của hệ $\alpha$ kéo theo ĐLTT của hệ $\beta$.

[letrongvan]

Cho ko gian con L của Rⁿ , xét hệ $\begin{Bmatrix} \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m} \end{Bmatrix}$ độc lập tuyến tính (ĐLTT) . Khi đó hệ  $\begin{Bmatrix} \beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{m} \end{Bmatrix}$ với $\beta _{i}=\sum_{j=1}^{i}\alpha _{i}$ với mọi i , $1\leqslant i\leqslant m$ cũng ĐLTT.

 

Đây là bài làm của mình, mong các bạn cho ý kiến:

Ta có :

$\beta =\begin{Bmatrix} \alpha _{1};\alpha _{1}+\alpha _{2};...;\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{m} \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow \beta =\alpha +\begin{Bmatrix} 0;\alpha _{1};...;\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{m-1} \end{Bmatrix}$

Vì $\begin{Bmatrix} \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m} \end{Bmatrix}$ ĐLTT

nên $\begin{Bmatrix} 0;\alpha _{1};...;\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{m-1} \end{Bmatrix}$ cũng ĐLTT

$\Rightarrow \beta$ ĐLTT

Vậy phát biểu đúng

$B=\left \{ \beta _{1} ,\beta _{2},..,\beta _{m}\right \}$ tức là $B=\left \{ \alpha _{1} ,\alpha _{1}+\alpha _{2},..,\alpha _{1}+...+\alpha _{m-1}\right \}$ khi đó xét hệ B có độc lập tuyến tính hay không:

$\epsilon _{1}.\alpha _{1} +\epsilon _{2}(\alpha _{1}+\alpha _{2})+..+\epsilon _{m}(\alpha _{1}+...+\alpha _{m})=(\epsilon _{1}+\epsilon _{2}).\alpha _{1}+...+(\epsilon _{m-1}+\epsilon _{m}).\alpha _{m}$ do A độc lập tuyến tính nên tất cả các hệ số đều bằng 0 do đó B cũng độc lập tuyến tính

p/s: cái này cũng hơi nghi nghi kiến thức của mình, cảm giác cách giải không an toàn lắm

Edited by letrongvan, 25-11-2013 - 23:39.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

$B=\left \{ \beta _{1} ,\beta _{2},..,\beta _{m}\right \}$ tức là $B=\left \{ \alpha _{1} ,\alpha _{1}+\alpha _{2},..,\alpha _{1}+...+\alpha _{m-1}\right \}$ khi đó xét hệ B có độc lập tuyến tính hay không:

$\epsilon _{1}.\alpha _{1} +\epsilon _{2}(\alpha _{1}+\alpha _{2})+..+\epsilon _{m}(\alpha _{1}+...+\alpha _{m})=(\epsilon _{1}+\epsilon _{2}).\alpha _{1}+...+(\epsilon _{m-1}+\epsilon _{m}).\alpha _{m}$ do A độc lập tuyến tính nên tất cả các hệ số đều bằng 0 do đó B cũng độc lập tuyến tính

p/s: cái này cũng hơi nghi nghi kiến thức của mình, cảm giác cách giải không an toàn lắm

Mấu chốt là phải chứng minh đc cái này mà, ghi một dòng mà ra như thế này thì thấy sao ấy.

[1110004]

Mấu chốt là phải chứng minh đc cái này mà, ghi một dòng mà ra như thế này thì thấy sao ấy.

(Tiếp tục bài của letrongvan) Do A  độc lập tuyến tính nên

$\left\{\begin{matrix}\epsilon _m & = & 0\\ \epsilon _m+\epsilon _{m-1}& = & 0\\ ...& ... & ...\\ \epsilon _1+\epsilon _2+...\epsilon _m & = & 0\end{matrix}\right.$

 

Rút thế ta được $\epsilon _1=\epsilon _2=...=\epsilon _m=0$ rồi suy ra đpcm

Edited by 1110004, 26-11-2013 - 16:08.

[maitram]

(Tiếp tục bài của letrongvan) Do A  độc lập tuyến tính nên

$\left\{\begin{matrix}\epsilon _m & = & 0\\ \epsilon _m+\epsilon _{m-1}& = & 0\\ ...& ... & ...\\ \epsilon _1+\epsilon _2+...\epsilon _m & = & 0\end{matrix}\right.$

 

Rút thế ta được $\epsilon _1=\epsilon _2=...=\epsilon _m=0$ rồi suy ra đpcm

Nhưng bạn letrongvan đã nhóm lại và được $(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})\alpha _{1}$

nên chỉ chứng minh được $\epsilon _{1}+\epsilon _{2}=0$ thôi chứ ko chỉ ra được $\epsilon _{1}=0$

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Nhưng bạn letrongvan đã nhóm lại và được $(\epsilon _{1}+\epsilon _{2})\alpha _{1}$

nên chỉ chứng minh được $\epsilon _{1}+\epsilon _{2}=0$ thôi chứ ko chỉ ra được $\epsilon _{1}=0$

Ảnh nhóm nhầm á.