Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$
Từ gt suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$
$P= \sum \frac{x-1}{y^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum (x-1).\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}-2$
Dễ chứng minh
$\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum \frac{1}{xy}=1$
$(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3\sum \frac{1}{xy}=3\Rightarrow \sum \frac{1}{x}\geq \sqrt{3}$
Suy ra $P\geq 1+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}-1$
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh rằng $\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = 1$Bắt đầu bởi RoyalMadrid, 19-12-2013 kfcchicken98, nhatquangsin |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$Bắt đầu bởi RoyalMadrid, 23-11-2013 kfcchicken98 |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị nhỏ nhất của P= \frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}Bắt đầu bởi RoyalMadrid, 23-11-2013 kfcchicken98 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh