Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$

kfcchicken98

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$

 



#2
phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Từ gt suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

$P= \sum \frac{x-1}{y^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum (x-1).\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}-2$

Dễ chứng minh

$\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum \frac{1}{xy}=1$

$(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3\sum \frac{1}{xy}=3\Rightarrow \sum \frac{1}{x}\geq \sqrt{3}$

Suy ra $P\geq 1+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}-1$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: kfcchicken98

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh