Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= $\frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RoyalMadrid: 23-11-2013 - 22:07


#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Ta có :$P=\frac{(x-\frac{1}{2})+(y-\frac{1}{2})}{y^2}+\frac{(y-\frac{1}{2})+(z-\frac{1}{2})}{z^2}+\frac{(z-\frac{1}{2})+(x-\frac{1}{2})}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=(x-\frac{1}{2})(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2})+(y-\frac{1}{2})(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})+(z-\frac{1}{2})(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{2(x-\frac{1}{2})}{xy}+\frac{2(y-\frac{1}{2})}{yz}+\frac{2(z-\frac{1}{2})}{xz}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\geq \sqrt{3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})}-1=\sqrt{3}-1$

$= > P$ Min =$\sqrt{3}-1< = > x=y=z=\sqrt{3}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh