Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh với abc=2 chứng minh a^3 + b^3 + c^3 >= a*căn ( b+c)..........

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ZzZzZzZzZ

ZzZzZzZzZ

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

cho abc=2. Chứng minh:

a3+b3+c3 >= 2a$a\sqrt{b+c} + b\sqrt{a+c} + c\sqrt{a+b}$2ab+c+2ba+c+2cb+a

 



#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Chắc ý của bạn là :CM: $a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Theo bđt AM-GM có :$a^3+b^3+c^3\geq \frac{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}{2}\geq \frac{(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})^2}{6}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}< = > a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\geq 6$

Theo bđt AM-GM có :$a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}\geq 3\sqrt[3]{abc\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 3\sqrt[3]{2.\sqrt{8abc}}=3\sqrt[3]{2.\sqrt{8.2}}=6$

(luôn đúng ) nên ta có đpcm



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$

$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4
pkh2705

pkh2705

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Một cách khác:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$(a^3+b^3+c^3)^2>=(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{b+a})^2$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\left ( a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b} \right )^2\leq 2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:$(a^3+b^3+c^3)^2\geq 3abc(a^3+b^3+c^3)$

Ta cần chứng minh $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
BĐT này luôn đúng vì $2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc(AM-GM)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(Schur)$

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh