cho abc=2. Chứng minh:
a3+b3+c3 >= 2a$a\sqrt{b+c} + b\sqrt{a+c} + c\sqrt{a+b}$2ab+c−−−−√+2ba+c−−−−√+2cb+a−−−−√
cho abc=2. Chứng minh:
a3+b3+c3 >= 2a$a\sqrt{b+c} + b\sqrt{a+c} + c\sqrt{a+b}$2ab+c−−−−√+2ba+c−−−−√+2cb+a−−−−√
Chắc ý của bạn là :CM: $a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$
Theo bđt AM-GM có :$a^3+b^3+c^3\geq \frac{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}{2}\geq \frac{(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})^2}{6}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}< = > a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\geq 6$
Theo bđt AM-GM có :$a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}\geq 3\sqrt[3]{abc\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 3\sqrt[3]{2.\sqrt{8abc}}=3\sqrt[3]{2.\sqrt{8.2}}=6$
(luôn đúng ) nên ta có đpcm
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$
$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Một cách khác:
BĐT cần chứng minh tương đương với:$(a^3+b^3+c^3)^2>=(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{b+a})^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\left ( a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b} \right )^2\leq 2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:$(a^3+b^3+c^3)^2\geq 3abc(a^3+b^3+c^3)$
Ta cần chứng minh $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
BĐT này luôn đúng vì $2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc(AM-GM)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(Schur)$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{a}{b+c}} +\sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2$Bắt đầu bởi thuvitoanhoc, 05-07-2021 bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho x, y > 0 thoả mãn:Bắt đầu bởi I love black coffee, 12-10-2017 bất đẳng thức và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Làm chặt NesbittBắt đầu bởi IHateMath, 03-10-2016 nesbitt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh $a+b+c \leq 3$Bắt đầu bởi Nguyen Van Luc, 10-09-2016 bất đẳng thức, bđt |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Mở rộng bất đẳng thức KaramataBắt đầu bởi Oai Thanh Dao, 02-08-2016 bất đẳng thức và . |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh