Chủ đề này có 9 trả lời

[kinggriffin1]

B1: Cho x;y dương thỏa mãn: x+y=2. CM: $x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2$

B2: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn: $(x+y)(y+z) =1$

CM: $\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\geq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kinggriffin1: 27-11-2013 - 22:29

[Yagami Raito]

1. Ta có  $x+y \geq 2\sqrt{xy}$ $\Rightarrow 0<xy\leq 1(1)$

lại có $xy(x^2+y^2)=\dfrac{1}{2}.2xy.(x^2+y^2) \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{(x+y)^4}{4})=2(2)$

Nhân vế theo vế $(1)$ và $(2)$ ta có đpcm dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$

[Yagami Raito]

 

B2: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn: $(x+y)(y+z) =1$

CM: $\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}$

Đề là gì thế 

[mnguyen99]

B1: Cho x;y dương thỏa mãn: x+y=2. CM: $x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2$

B2: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn: $(x+y)(y+z) =1$

CM: $\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}$

bạn viết lại đề được ko?

[NMDuc98]

B1: Cho x;y dương thỏa mãn: x+y=2. CM: $x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2$

B2: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn: $(x+y)(y+z) =1$

CM: $\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}$

B1:

Ta có:

$x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2}\right )=\frac{1}{2}xy(x^2+y^2)2xy$

Mà theo BĐT cô-si ta có: Với $a,b$ dương.$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$.Dấu $"="$ xảy ra <=>$a=b$.

$=>\frac{1}{2}xy(x^2+y^2)2xy\leq \frac{1}{2}.\frac{(x+y)^2}{4}.\frac{[(x+y)^2]^2}{4}=2$  (vì $a+b=2$)

Dấu "=" xảy ra <=>$x=y=1$.

[NMDuc98]

B1: Cho x;y dương thỏa mãn: x+y=2. CM: $x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2$

B2: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn: $(x+y)(y+z) =1$

CM: $\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}$

Bài 2 có phải cm $\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\geq 4$ kg?? ( Nhưng phải yêu cầu x,y,z không âm))!!

[kinggriffin1]

Bài 2 có phải cm $\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\geq 4$ kg?? ( Nhưng phải yêu cầu x,y,z không âm))!!

ukm

[NMDuc98]

ukm

Xem lại vẫn thấy điều kiện có vấn đề.Mình xin giải một bài như sau:

Cho $x,y,z$ không âm đôi một khác nhau thỏa mãn:$(z+x)(y+z)=1$

CMR:$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\geq 4$

Giải:

Đặt: $x+z=a,y+z=b$,ta có: $a,b>0$ và ab=1.

Dễ thấy $(a-b)^2>0<=>a^2+b^2-2>0$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq 4$

$<=>\frac{1}{a^2+b^2-2ab}+\frac{a^2b^2}{a^2}+\frac{a^2b^2}{b^2} \geq 4$

$<=>\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2 \geq 4$

$<=>\frac{1}{a^2+b^2-2}-2+a^2+b^2-2\geq 0$

$<=>\left ( \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2-2}}-\sqrt{a^2+b^2-2} \right )^2\geq 0$  (Hiển nhiên đúng)

=> BDT ban đâu đúng.(dpcm)

[kinggriffin1]

Xem lại vẫn thấy điều kiện có vấn đề.Mình xin giải một bài như sau:

Cho $x,y,z$ không âm đôi một khác nhau thỏa mãn:$(z+x)(y+z)=1$

CMR:$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\geq 4$

Giải:

Đặt: $x+z=a,y+z=b$,ta có: $a,b>0$ và ab=1.

Dễ thấy $(a-b)^2>0<=>a^2+b^2-2>0$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq 4$

$<=>\frac{1}{a^2+b^2-2ab}+\frac{a^2b^2}{a^2}+\frac{a^2b^2}{b^2} \geq 4$

$<=>\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2 \geq 4$

$<=>\frac{1}{a^2+b^2-2}-2+a^2+b^2-2\geq 0$

$<=>\left ( \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2-2}}-\sqrt{a^2+b^2-2} \right )^2\geq 0$  (Hiển nhiên đúng)

=> BDT ban đâu đúng.(dpcm)

 

Ngay cả a,b<0 thì ta vẫn có $(a-b)^2>0<=>a^2+b^2-2>0$ mà

[KietLW9]

B1: Cho x;y dương thỏa mãn: x+y=2. CM: $x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2$

$(x+y)^6-32x^2y^2(x^2+y^2)=(x-y)^2(x^4+y^4-2x^2y^2+8x^3y+8xy^3)\geqslant 0$