Chủ đề này có 3 trả lời

[Trần Đức Anh @@]

Chứng minh đẳng thức sau: $1+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^4}+\frac{4}{3^6}+...=(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+...)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 28-11-2013 - 22:27

[perfectstrong]

Chứng minh đẳng thức sau: $1+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^4}+\frac{4}{3^6}+...=(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+...)^2$

Lời giải: Xét khai triển hàm sau:\[
\begin{array}{l}
 f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^{2k} }  = 1 + x^2 \sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^{2k} }  = 1 + x^2 f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x^2 }} \\
 g\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {kx^{2k - 2} }  = 1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {k + 1} \right)x^{2k} }  = 1 + x^2 \sum\limits_{k = 1}^\infty  {kx^{2k - 2} }  + \sum\limits_{k = 1}^\infty  {x^{2k} }  = 1 + x^2 g\left( x \right) + f\left( x \right) - 1 \\
  \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {1 - x^2 } \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right)^2  \\
 \end{array}
\]
Thay $x=\dfrac{1}{3}$, ta có kết quả của bài toán.

[Trần Đức Anh @@]

Chứng minh đẳng thức sau: $1+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^4}+\frac{4}{3^6}+...=(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+...)^2$

 

Đẳng thức này có tên tuổi chi không Hân hèo?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 29-11-2013 - 22:37

[perfectstrong]

 

Lời giải: Xét khai triển hàm sau:\[
\begin{array}{l}
 f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^{2k} }  = 1 + x^2 \sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^{2k} }  = 1 + x^2 f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x^2 }} \\
 g\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {kx^{2k - 2} }  = 1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {k + 1} \right)x^{2k} }  = 1 + x^2 \sum\limits_{k = 1}^\infty  {kx^{2k - 2} }  + \sum\limits_{k = 1}^\infty  {x^{2k} }  = 1 + x^2 g\left( x \right) + f\left( x \right) - 1 \\
  \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {1 - x^2 } \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right)^2  \\
 \end{array}
\]
Thay $x=\dfrac{1}{3}$, ta có kết quả của bài toán.

Đẳng thức này có tên tuổi chi không Hân hèo?

 

Chẳng biết nó có tên tuổi gì, nhưng đó là đẳng thức của 2 chuỗi số.