Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}\geq \frac{1}{2}$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
khonggiohan

khonggiohan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR

$\sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}\geq \frac{1}{2}$


             

                 Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR

$\sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}\geq \frac{1}{2}$

Do $abc=1$ nên tồn tại các số $x,y,z$ sao cho $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

D0 đó ta có $\frac{a}{(a+1)(b+2)}=\frac{\frac{x}{y}}{(\frac{x}{y}+1)(\frac{y}{z}+2)}=\frac{xz}{(x+y)(y+2z)}=\frac{(xz)^2}{x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2}$

         $\Rightarrow \sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}=\sum \frac{(xz)^2}{x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

          $\sum \frac{(xz)^2}{x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2} \geqslant \frac{(xy+yz+xz)^2}{\sum \left [ (x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2) \right ]}$

 $\Rightarrow \sum \frac{(xz)^2}{x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2} \geqslant \frac{(xy+yz+xz)^2}{2\sum (xy)^2+4\sum x^2yz}=\frac{1}{2}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$ hay $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh