cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR
$\sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}\geq \frac{1}{2}$
cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR
$\sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}\geq \frac{1}{2}$
Do $abc=1$ nên tồn tại các số $x,y,z$ sao cho $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$
D0 đó ta có $\frac{a}{(a+1)(b+2)}=\frac{\frac{x}{y}}{(\frac{x}{y}+1)(\frac{y}{z}+2)}=\frac{xz}{(x+y)(y+2z)}=\frac{(xz)^2}{x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2}$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{(a+1)(b+2)}=\sum \frac{(xz)^2}{x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2}$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\sum \frac{(xz)^2}{x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2} \geqslant \frac{(xy+yz+xz)^2}{\sum \left [ (x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2) \right ]}$
$\Rightarrow \sum \frac{(xz)^2}{x^2yz+xy^2z+2xyz^2+2(xz)^2} \geqslant \frac{(xy+yz+xz)^2}{2\sum (xy)^2+4\sum x^2yz}=\frac{1}{2}$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$ hay $a=b=c=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh