Chủ đề này có 8 trả lời

[raquaza]

có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 8 chữ số từ 1,2,3,4 mỗi chữ số có mặt 2 lần và không có 2 số giống nhau đứng cạnh nhau

 

[TienDatptbt]

Tất cả các chữ số có 8 chữ số được lập từ $\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,1,2,3,4 \end{Bmatrix}$ là :$8!$

Số có 8 chữ số mà 2 chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là: 4! (xem như các cặp $\begin{Bmatrix}11;22;33;44\end{Bmatrix}$là một số)

Số chữ số cần tìm là: $8!-4!=40296$

 

[thuysh]

Tất cả các chữ số có 8 chữ số được lập từ $\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,1,2,3,4 \end{Bmatrix}$ là :$8!$

Số có 8 chữ số mà 2 chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là: 4! (xem như các cặp $\begin{Bmatrix}11;22;33;44\end{Bmatrix}$là một số)

Số chữ số cần tìm là: $8!-4!=40296$

-------------------------------------------------------

TienDatptbt: mình nghĩ trường hợp đứng cạnh nhau còn nhiều trường hợp nữa, chẳng hạn:  12213434, 32344112.....

[TienDatptbt]

-------------------------------------------------------
TienDatptbt: mình nghĩ trường hợp đứng cạnh nhau còn nhiều trường hợp nữa, chẳng hạn: 12213434, 32344112.....

Làm sai làm lại
Gọi số cần tìm là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}}$
Cách chọn vị trí cho 2 chữ số 1: $C_{8}^{2}-7$
 
Cách chọn vị trí cho 2 chữ số 2:$C_{6}^{2}-4$
 
Cách chọn vị trí cho 2 chữ số 3:$C_{4}^{2}-2$
 
Cách chọn vị trí cho 2 chữ số 4:$1$
$\Rightarrow$ Số chữ số cần tìm là $(C_{8}^{2}-7)$.$(C_{6}^{2}-4)$.$(C_{4}^{2}-2)$=924 số
P/s:Không biết đúng hay không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TienDatptbt: 02-12-2013 - 14:29

[thuysh]

Làm sai làm lại
Gọi số cần tìm là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}}$
Cách chọn vị trí cho 2 chữ số 1: $C_{8}^{2}-7$
 
Cách chọn vị trí cho 2 chữ số 2:$C_{6}^{2}-4$
 
Cách chọn vị trí cho 2 chữ số 3:$C_{4}^{2}-2$
 
Cách chọn vị trí cho 2 chữ số 4:$1$
$\Rightarrow$ Số chữ số cần tìm là $(C_{8}^{2}-7)$.$(C_{6}^{2}-4)$.$(C_{4}^{2}-2)$=924 số
P/s:Không biết đúng hay không

- số cách chọn chỗ cho 2 số 1=>ok

- số cách chọn cho số 2 thì mình có thể thấy các con số lơn hơn như sau: 

+th1: giả sử 2 số 1 ở vị trí 1 và 3=> 1a1bcdef : nếu số 2 thứ nhất ở vị trí a=> có 5 cc vị trí cho số 2 thứ 2=> có 5th

                                                                      nếu số 2 thứ nhất ở vị trí  b=> có 3 cc vị trí cho số 2 thứ 2=> có 3 th

                                                                       nếu số 2 thứ nhất ở vị trí c=> có 2 vt cho số 2 thứ 2=> có 2 th

                                                                       nếu số 2..........................d=> ......1.......................................1.....

                                                                         => th1 có: 11 cách chọn vị trí cho 2 số 2= với cách bạn làm

+ th2: giả sử 2 số 1 ở vị trí 2 và 4=> a1b1cdef: làm tượng tự ta có 12 cách chon vị trí cho 2 số 2 

+ còn TH3: hai số 1 ở đầu và cuối : 1abcdef1: => có 9 th chọn cho 2 số 2 vị trí thôi

...

(bài này ko thể cộng như lúc nãy )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuysh: 02-12-2013 - 18:48

[chanhquocnghiem]

có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 8 chữ số từ 1,2,3,4 mỗi chữ số có mặt 2 lần và không có 2 số giống nhau đứng cạnh nhau

$a)$ Tính số cách sắp xếp $8$ cs đó sao cho $2$ cs $1$ cạnh nhau (gọi số cách này là $M$)

+ Chọn $2$ vị trí cho cs $1$ ---> $7$ cách

+ Xếp $6$ cs kia vào các chỗ còn lại ---> $C_{6}^{2}.C_{4}^{2}=90$ cách

---> $M=7.90=630$

(Tương tự, số cách sắp xếp sao cho $2$ cs 2 (hoặc $2$ cs 3, hoăc $2$ cs 4) cạnh nhau, cũng là $M=630$)

 

$b)$ Tính số cách sao cho $2$ cs 1 cạnh nhau và $2$ cs 2 cạnh nhau (gọi số cách này là $N$)

+ Chọn $2$ vị trí cho cs $1$ ---> $7$ cách

+ Chọn $2$ vị trí cho cs $2$ ---> $5$ cách (nếu các cs 1 ở vị trí $\overline{ab}$ hoặc $\overline{gh}$) ; $4$ cách (nếu các cs 1 ở các vị trí $\overline{bc},\overline{cd},\overline{de},\overline{ef},\overline{fg}$)

+ Xếp các cs còn lại vào các chỗ còn lại ---> $C_{4}^{2}=6$ cách

---> $N=(2.5+5.4).6=180$

(Tương tự, số cách sao cho $2$ cs 1 cạnh nhau và $2$ cs 3 cạnh nhau (v.v...) cũng là $N=180$

 

$c)$ Tính số cách sao cho $2$ cs 1 cạnh nhau, $2$ cs 2 cạnh nhau và $2$ cs 3 cạnh nhau (gọi số cách đó là $P$)

+ Chọn $6$ vị trí (gồm $3$ cặp vị trí liên tiếp) ---> $10$ cách ($4$ cách sao cho 2 vị trí còn lại liên tiếp, $6$ cách sao cho 2 vị trí còn lại không liên tiếp)

+ Điền các cs 1,2,3 vào $3$ cặp vị trí liên tiếp đó ---> $3!=6$ cách

---> $P=10.6=60$ cách

 

$d)$ Tính số cách sao cho $2$ cs 1 cạnh nhau, $2$ cs 2 cạnh nhau, $2$ cs 3 cạnh nhau và $2$ cs 4 cạnh nhau (gọi số cách này là $Q$) ---> $Q=4!=24$ cách

 

Số cách sắp xếp không thỏa mãn ĐK đề bài là $C_{4}^{1}.M-C_{4}^{2}.N+C_{4}^{3}.P-C_{4}^{4}.Q=1656$ cách.

Tổng số cách sắp xêp ngẫu nhiên 8 cs đó là $C_{8}^{2}.C_{6}^{2}.C_{4}^{2}=2520$ cách

Số cách sắp xếp thỏa mãn ĐK đề bài là $2520-1656=864$ cách.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 03-12-2013 - 18:02

[hxthanh]

Bài toán này phải dùng công thức gộp vào - loại đi (còn gọi là công thức bù trừ hay inclution-exclution để giải)

 

Nội dung cụ thể được diễn giải như sau:

Gọi $p$ là tính chất "hai số giống nhau đứng cạnh nhau"

Ta có:

$|S_0|=|S|-|S_1|+|S_2|-|S_3|+|S_4|\quad(*)$

 

Trong đó

$S$ là tập tất cả cách sắp xếp

$S_i,\;i=1,...,4$ là tập các cách sắp xếp có (ít nhất) $i$ cặp số có tính chất $p$

$S_0$ là tập các cách sắp xếp không có tính chất $p$

 

Ý nghĩa của $(*)$

 

Để đếm $|S_0|$ là số cách sắp xếp không có tính chất $p$ (không có cặp giống nhau nào đứng cạnh nhau) ta lấy tổng số cách sắp xếp $|S|$ trừ đi số cách sắp xếp có (ít nhất) $1$ cặp số có tính chất $p$ là $|S_1|$, nhưng như vậy các cách xếp có (ít nhất) $2$ cặp số có tính chất $p$ bị trừ $2$ lần, do đó để bù lại ta phải bù vào số cách sắp xếp có (ít nhất) $2$ cặp số có tính chất $p$ là $|S_2|$. Khi đó số các cách sắp xếp có (ít nhất) $3$ cặp số có tính chất $p$ lại bị đếm thừa $2$ lần, do đó lại phải trừ đi $|S_3|$, tương tự phải bù vào $|S_4|$.

 

Đếm $|S|$

Ta có $|S|=\dfrac{8!}{(2!)^4}=2520$ ($8!$ hoán vị cho 8 chữ số, 2! hoán vị cho cặp số giống nhau có cùng kết quả, có 4 cặp như vậy)

Đếm $|S_i|$ với $i=1,...,4$

Có $C_4^i$ cách chọn $i$ cặp giống nhau đứng cạnh nhau

Có $\dfrac{(8-i)!}{(2!)^{4-i}}$ cách xếp $8-i$ chữ số còn lại (coi cặp giống nhau đó là một "chữ số")

Vậy $|S_i|=C_4^i\cdot\dfrac{(8-i)!}{(2!)^{4-i}}$

 

Như vậy $|S_0|=2520+\sum_{i=1}^4 (-1)^i C_4^i\dfrac{(8-i)!}{(2!)^{4-i}}=864$

[Nobodyv3]

Cách khác :
Từ điều kiện bài toán ta có hàm sinh là đa thức :
$f(x)=\left ( \frac {x^2}{2}-x \right )^4=\frac {x^8}{16}-\frac {x^7}{2}+\frac {3x^6}{2}-2x^5+x^4$ Thay $x^k$ bằng $k!$ thì ta có đáp án là :
$2520-2520+1080-240+24=864$

[Nobodyv3]

Còn nữa...
Cách khác : dùng đa thức Laguerre (Bạn có thể search vì có vài bài tương tự )

...và Cách khác nữa : Đếm các Smirnov words :
Từ không có chữ cái liên tiếp giống nhau được gọi là từ Smirnov hay từ Carlitz. Hàm sinh cho số các từ như vậy trong bài này là $$f(x,y,z,w)=\left ( 1-\frac{x}{1+x}-\frac{y}{1+y}- \frac{z}{1+z}-\frac{w}{1+w} \right )^{-1}$$
Suy ra đáp án là :
$\left[x^2y^2z^2w^2 \right ]f(x,y,z,w)=864$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 03-02-2023 - 12:21