Chủ đề này có 3 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Gọi a,b,c là 3 cạnh của tam giác, chứng minh rằng:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc< \frac{1}{2}$

 

[yeutoan2604]

ta có:$a+b>c\Rightarrow a+b+c>2c\Leftrightarrow c<\frac{1}{2}$ Tương tự $a<\frac{1}{2}$ $b<\frac{1}{2}$ 

$\Rightarrow (\frac{1}{2}-a)(\frac{1}{2}-b)(\frac{1}{2}-c)>0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{8}-\frac{1}{4}(a+b+c)+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)-abc>0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{8}>\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)+abc$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}>(a+b+c)-2(ab+bc+ca)+4abc$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}>(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)+4abc$ (do a+b+c=1)

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}>a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2604: 02-12-2013 - 10:20

[Hoang Tung 126]

Do $a+b+c=1,a=b> c= > 2c< 1= > c< \frac{1}{2}= > (2c-1)< 0$ .Tương tự $2a-1< 0,2b-1< 0$

$= > (2a-1)(2b-1)(2c-1)< 0< = > (4ab-2a-2b+1)(2c-1)< 0< = > 8abc-4(ab+bc+ac)+2(a+b+c)-1< 0< = > 8abc-4(ab+bc+ac)+1< 0< = > 8abc+1< 4(ab+bc+ac)< = > 8abc+2(a^2+b^2+c^2)+1< 2(a+b+c)^2=2= > 4abc+a^2+b^2+c^2< \frac{1}{4}$(đpcm)

[yeutoan2604]

Do $a+b+c=1,a=b> c= > 2c< 1= > c< \frac{1}{2}= > (2c-1)< 0$ .Tương tự $2a-1< 0,2b-1< 0$

$= > (2a-1)(2b-1)(2c-1)< 0< = > (4ab-2a-2b+1)(2c-1)< 0< = > 8abc-4(ab+bc+ac)+2(a+b+c)-1< 0< = > 8abc-4(ab+bc+ac)+1< 0< = > 8abc+1< 4(ab+bc+ac)< = > 8abc+2(a^2+b^2+c^2)+1< 2(a+b+c)^2=2= > 4abc+a^2+b^2+c^2< \frac{1}{4}$(đpcm)

Sai rùi bạn à $\frac{1}{2}$ mà