Chủ đề này có 2 trả lời

[ngancAn]

Bài 1:tính căn jacopson(Z). Tìm n để căn này =0 Bài 2:cho vành Z và (a,b) .tính (aZ): (bZ). Bài 3: trong vành Q. Hãy chứng tỏ x^2-3 là idean nguyên tố,tối đại.

[ngancAn]

nhầm tính Bài 1:tính căn jacopson(Z/nZ)

[fghost]

(1) Gọi $Rad( R )$ Jacobson radical của $R$. $Rad( R )= \bigcap_{\text{m ideal tối đại}} m$. Trong vành $Z/nZ,$ ideal tối đại là $0$ (khi $n=1$), hay $(\bar{p})$ với $p$ ước nguyên tố của $n$, và $\bar{p}$ là ảnh của $p$ trong $\varphi: Z \rightarrow Z/nZ$. Như vậy, với $n=\Pi p_i^{e_i}$ $p_i$ nguyên tố, thì $Rad( R )= (\Pi \bar{p_i})= \Pi \bar{p_i} (Z/nZ)$

 

$Rad( R )=0$ khi $n=1$, hay $(\Pi \bar{p_i}) (Z/nZ)=0 \Leftrightarrow \Pi p_i \subset nZ \Rightarrow n| \Pi p_i$ mà ta có $n=\Pi (p_i)^{e_i}$, vì vậy $n=\Pi p_i$, nói cách khác $n$ squarefree (mọi ước nguyên tố của $n$ chỉ xuất hiện 1 lần).

 

(2)

$$(aZ):_Z (bZ)=\{x \in Z: x(bZ) \subset aZ\}= \{x \in Z: a| xb\}= \frac{lcm(a,b)}{b}Z$$

Vì ta phải tìm $x$ sao cho $a| xb$, mà $a| lcm(a,b)$ và $b| lcm(a,b)$, như vậy $x$ phải là bội của $\frac{lcm(a,b)}{b}$. ($lcm$ là bội chung nhỏ nhất.)

 

(3) Mình không hiểu, bạn muốn trong vành đa thức $Q[X]$, chứng minh $(X^2-3)$ là ideal tối đại?

$Q[X]$ là Euclidean domain, vì có phép chia đa thức, vì vậy là PID (mọi ideal đều được sinh ra bởi 1 phần tử), nên mọi ideal nguyên tố đều là ideal tối đại. Mà $Q[X]$ là UFD (unique factorization domain), nên mọi phần tử irreducible (tối giản) đều nguyên tố. Vì vậy cần chứng minh $X^2-3$ tối giản (irreducible). Mà $X^2-3$ là bậc 2 đa thức, nên nếu có thể đơn giản, thì phải có phần tử ở bậc 1, vì vậy nghiệm phải trong $Q$, nhưng rõ ràng điều này không đúng. Cho nên $X^2-3$ tối giản, $(X^2-3)$ ideal nguyên tố, nên là ideal tối đại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 12-12-2013 - 00:21