Chủ đề này có 3 trả lời

[badboykmhd123456]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2 & \\   \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=4&  \end{matrix}\right.$

 

[25 minutes]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2 & \\   \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=4&  \end{matrix}\right.$

ĐK $x+y \geqslant 0$, $x-y \geqslant 0$

Đặt $\sqrt{x+y}=a,\sqrt{x-y}=b$

Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} a-b=2\\ \sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}+ab=4 \end{matrix}\right.$

          $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=2\\ a^4+b^4=2(4-ab)^2 \end{matrix}\right.$

Thế $a=2+b$ vào ta được $(b+2)^4+b^4=2\left [ 4-(b+2)b \right ]^2$

                      $\Leftrightarrow b=-1+\sqrt{\frac{3}{2}}$

                      $\Rightarrow a=1+\sqrt{\frac{3}{2}}$

Do đó ta được hệ $\left\{\begin{matrix} x+y=(1+\sqrt{\frac{3}{2}})^2\\x-y=(\sqrt{\frac{3}{2}}-1)^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{5}{2}\\y= \sqrt{6} \end{matrix}\right.$

[badboykmhd123456]

ĐK $x+y \geqslant 0$, $x-y \geqslant 0$

Đặt $\sqrt{x+y}=a,\sqrt{x-y}=b$

Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} a-b=2\\ \sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}+ab=4 \end{matrix}\right.$

          $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=2\\ a^4+b^4=2(4-ab)^2 \end{matrix}\right.$

Thế $a=2+b$ vào ta được $(b+2)^4+b^4=2\left [ 4-(b+2)b \right ]^2$

                      $\Leftrightarrow b=-1+\sqrt{\frac{3}{2}}$

                      $\Rightarrow a=1+\sqrt{\frac{3}{2}}$

Do đó ta được hệ $\left\{\begin{matrix} x+y=(1+\sqrt{\frac{3}{2}})^2\\x-y=(\sqrt{\frac{3}{2}}-1)^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{5}{2}\\y= \sqrt{6} \end{matrix}\right.$

cách khác

ĐKXD:$x \geq y; x+y \geq 0$

pt đầu của hệ $\Leftrightarrow \sqrt{x+y}=2+\sqrt{x-y} \Leftrightarrow y-2=2\sqrt{x-y} \Leftrightarrow y^2=4x-4(y \geq 2)$

Từ ĐKXD ta có $x \geq y \geq 2$

Thay $y^2=4x-4$ vào pt sau là dễ rồi

p/s: anh cho em hỏi cái chỗ màu đỏ anh làm sao tìm ra nghiệm chính xác vậy ạ.

[25 minutes]

p/s: anh cho em hỏi cái chỗ màu đỏ anh làm sao tìm ra nghiệm chính xác vậy ạ.

Phương trình đó thực chất là phương trình bậc 2 sau khi nhân tung tóe hết ra mà 

Nó còn $1$ nghiệm nữa là $b=-1-\sqrt{\frac{3}{2}}<0$