Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$
CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-12-2013 - 00:59
Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$
CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-12-2013 - 00:59
$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$. Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$, hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$. Như vây $-\inf A= \sup (-A)$
Tương tự cho phần kia.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 06-12-2013 - 08:39
$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$. Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$, hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$. Như vây $-\inf A= \sup (-A)$
Tương tự cho phần kia.
bạn có thể trình bày lại đầy đủ đc ko? mình đang làm bài để nộp cho thầy nhưng phần này mình ko hỉu j hết. hic
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemylife: 05-12-2013 - 21:34
Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$
CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$
Bạn có thể tham khảo thêm bài viết về supremum và infimum
https://www.math.ucd...r/m125b/ch2.pdf
http://math.berkeley...outs/supinf.pdf
Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$
CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$
Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$
Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$
Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$
Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$
Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-12-2013 - 00:57
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$
Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$
Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$
Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$
Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$
Cơ sở nào để có thể quy trường hợp tổng quát về trường hợp riêng khi tập hợp chỉ có hai phần tử ? Nếu $A$ hữu hạn thì có thể giả thiết được nhưng $A$ vô hạn thì sao?
bạn có thể trình bày lại đầy đủ đc ko? mình đang làm bài để nộp cho thầy nhưng phần này mình ko hỉu j hết. hic
Bạn chỉ cần nhớ $sup$ là chặn trên bé nhất có thể. Để chứng minh số nào đấy là $sup$ (trong trường hợp này là $- \inf A$), thì (1) chứng minh số đấy là chặn trên, và (2) chứng minh mọi số nhỏ hơn số đấy sẽ không phải chặn trên.
(1) Chứng minh $-\inf A$ là chặn trên
$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$.
(2) Chứng minh mọi số nhỏ hơn $-\inf A$ không phải là chặn trên
Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$ (tính chất của $\inf$, chặn dưới lớn nhất, vì $-y > \inf A$, nên $-y$ không phải là chặn dưới của $A$, như vậy tồn tại $x' < -y$ với $x' \in A$). Hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$.
Như vây $-\inf A= \sup (-A)$
Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$
Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$
Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$
Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$
Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$
Cơ sở nào để có thể quy trường hợp tổng quát về trường hợp riêng khi tập hợp chỉ có hai phần tử ? Nếu $A$ hữu hạn thì có thể giả thiết được nhưng $A$ vô hạn thì sao?
$A$ bị chặn nên không thể vô hạn.
Nhưng vấn đề với việc xem $A=(a,b)$ là vì cấu trúc của $A$ không xác định, và bài toán không phụ thuộc vào cấu trúc của $A$. Nhưng việc coi như $A=(a,b)$ có ích để hình dung cách giải.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 06-12-2013 - 08:42
Bạn chỉ cần nhớ $sup$ là chặn trên bé nhất có thể. Để chứng minh số nào đấy là $sup$ (trong trường hợp này là $- \inf A$), thì (1) chứng minh số đấy là chặn trên, và (2) chứng minh mọi số nhỏ hơn số đấy sẽ không phải chặn trên.
(1) Chứng minh $-\inf A$ là chặn trên
$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$.
(2) Chứng minh mọi số nhỏ hơn $-\inf A$ không phải là chặn trên
Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$ (tính chất của $\inf$, chặn dưới lớn nhất, vì $-y > \inf A$, nên $-y$ không phải là chặn dưới của $A$, như vậy tồn tại $x' < -y$ với $x' \in A$). Hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$.
Như vây $-\inf A= \sup (-A)$
$A$ bị chặn nên không thể vô hạn.
Nhưng vấn đề với việc xem $A=(a,b)$ là vì cấu trúc của $A$ không xác định, và bài toán không phụ thuộc vào cấu trúc của $A$. Nhưng việc coi như $A=(a,b)$ có ích để hình dung cách giải.
còn phần inf(-A) = - sup A thì sao ? bạn trình bày luôn ik
còn phần inf(-A) = - sup A thì sao ? bạn trình bày luôn ik
$\inf(-A)=-\sup(A) \Leftrightarrow -\inf(-A)=\sup(A)$. Theo phần vừa chứng minh, $-\inf(-A)=\sup(-(-A))=\sup(A)$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh