Chủ đề này có 3 trả lời

[nolunne]

1.Cho a,b,c>0.C/m $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

2.Cho a,b,c>0 thoả abc=1.C/m $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

3.Cho a,b,c>0 C/m $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$

[NTPS2CBC]

3.Cho a,b,c>0 C/m $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$

Nhân $\sum a^{2}+\sum ab$ cho hai vế, ta được bđt tương đương:

$\sum \frac{a^{2}\left ( bc+ac+c^{2} \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}+\sum a^{2}\geq \sum a^{2}+\sum ab$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}c\left ( a+b+c \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sum ab$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{\sum ab}{\sum a}$

Dễ thấy:

$ \sum \frac{a^{2}c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{\left (\sum ab \right )^{2}}{\sum c\left ( a^{2}+ab+b^{2}\right )}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{\left (\sum ab \right )^{2}}{\sum c\left ( a^{2}+ab+b^{2}\right )} =\frac{\left (\sum ab \right )^{2}}{\left (\sum ab \right )\left ( \sum a \right )}=\frac{\sum ab}{\sum a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTPS2CBC: 05-12-2013 - 22:52

[nguyentrungphuc26041999]

1.Cho a,b,c>0.C/m $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

Ta có

theo bất đẳng thức holder

$\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{2}\left ( \sum a\left ( a^{2}+8bc \right ) \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{3}$

 chỉ cần chứng minh

$\left ( a+b+c \right )^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$

$\Leftrightarrow 3\sum a^{2}b+3\sum \geq 24abc$ đúng theo bất đẳng thức cauchy

[NTPS2CBC]

2.Cho a,b,c>0 thoả abc=1.C/m $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đặt $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$ được:

$\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$$\Leftrightarrow \left (\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right )^{2}\leq \frac{9}{2}$

$\left (\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right )^{2}\leq \sum \frac{x^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}.\sum \left ( x^{2}+z^{2} \right )$

$=\frac{\sum x^{2}\left ( y^{2}+z^{2} \right ).2\sum x^{2}}{\prod \left ( x^{2}+y^{2} \right )}$

$=\frac{4\sum x^{2}y^{2}.\sum x^{2}}{\prod \left (x^{2}+y^{2} \right )}$

Cần chứng minh:

$8\sum x^{2}y^{2}.\sum x^{2}\leq 9\prod \left (x^{2}+y^{2} \right )\Leftrightarrow 6x^{2}y^{2}z^{2}\leq \sum_{sym}^{ } x^{4}y^{2}\Leftrightarrow \sum x^{2}\left ( y^{2}-z^{2} \right )^{2}$

Suy ra điều phải chứng minh