Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$\sum_{k=1}^{\infty}arc\tan\left ( \frac{2}{k^2} \right )$

determine value

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 05-12-2013 - 23:57

Tính:

 

Bài 1: $\sum_{k=1}^{\infty}arc\tan\left ( \frac{2}{k^2} \right )$

 

Bài 2: $\sum_{k=1}^{\infty}arc\tan\left ( \frac{1}{k} \right )$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#2 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 10-06-2015 - 13:46

 
Em nhớ câu 1 là $\arctan\frac{1}{k^2}$, lúc đó làm mãi ko ra :D
 
1. Nhận xét
 
$$\arctan\frac{2}{k^2}=\arctan\frac{(k+1)-(k-1)}{1+(k+1)(k-1)}=\arctan(k+1)-\arctan(k-1)$$
$$S(1)=\sum_{k=1}^{\infty}\arctan\frac{2}{k^2}=\lim_{k\to \infty}\left(-\arctan1+\arctan k + \arctan(k+1)\right)=\frac{3\pi}{4}$$
 
2. Phân kỳ :)
 
 
Tổng quát:
 

 

$$S(a)=\sum_{k=1}^{\infty} \arctan\frac{2a^2}{k^2},\, a>0$$

 

 

Đặt 
 
$$F(a)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\arctan\frac{2a^2}{k^2}=2S(a)+\frac{\pi}{2}$$
 
$$\Rightarrow F'(a)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{4ak^2}{k^4+4a^4}$$
 
$$=-\pi Res\left\{\frac{4ak^2\cot(\pi k)}{k^4+a^4}, k=a(i+1)\right\}-\pi Res\left\{\frac{4ak^2\cot(\pi k)}{k^4+a^4}, k=a(i-1)\right\}$$
 
$$=-\pi \left(\frac{\cot\left(\pi a(i+1)\right)}{i+1}+\frac{\cot\left(\pi a(i-1)\right)}{i-1}\right)$$
 
$$\Rightarrow F(a)=-\left(\frac{\ln\sin\left(\pi a(i+1)\right)}{(i+1)^2}+\frac{\ln\sin\left(\pi a(i-1)\right)}{(i-1)^2}\right)+C$$
 
$$=\frac{i}{2}\ln\frac{\sin\left(\pi a(i+1)\right)}{\sin\left(\pi a(i-1)\right)}+C$$
 
$$\Rightarrow F(1)=C=2\pi$$
 
$$\Rightarrow S(a)=\frac{i}{4}\ln\frac{\sin\left(\pi a(i+1)\right)}{\sin\left(\pi a(i-1)\right)}+\frac{3\pi}{4}$$
 
 

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: determine value

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh