Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm Min
S = $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
S = $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
Bắt đầu bởi Vu Thuy Linh, 09-12-2013 - 21:50
#2
Đã gửi 09-12-2013 - 22:05
Trang Luong
-
- Thành viên
-
- 1834 Bài viết
Đại úy
Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm Min
S = $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
Ta có : $xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)=\left ( \frac{3}{2}-2x \right )\left ( \frac{3}{2} -2z\right )\left ( \frac{3}{2}-2y \right )=\frac{27}{8}-\frac{9}{2}\sum x+6\left ( \sum xy \right )-8xyz\Rightarrow xyz\geq \frac{-3}{8}+\frac{1}{3}\left [ (x+y+z)^2-\sum x^2 \right ]\Rightarrow \left ( xyz \right )^{2}\geq \left ( -\frac{3}{8}+\frac{\sum x^2}{3} \right )$
$\left ( \sum x^3 \right )\left ( \sum x \right )\geq \left ( \sum x^2 \right )^{2}+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}\geq \left \frac{3}{4}( \sum x^2 \right )-\frac{9}{16}=\frac{9}{16}$
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Issac Newton
#3
Đã gửi 12-05-2021 - 20:55
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm Min
S = $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
Ta đi chứng minh $S\geqslant \frac{25}{64}$
Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $S=r^2+3r+(\frac{27}{8}-\frac{9}{2}q)$
Cần chứng minh: $f(r)=r^2+3r+(\frac{191}{64}-\frac{9}{2}q)\geqslant 0$
Dễ thấy $f(r)$ là hàm đồng biến mà theo Schur: $\frac{-3}{8}+\frac{2q}{3}=\frac{-p^3}{9}+\frac{4}{9}pq\leqslant r$
Do đó $f(r)\geqslant f(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8})=\frac{(4q-3)(q-6)}{9}\geqslant 0$
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
