1 reply to this topic

[dauto98]

Giải phương trình

$\sqrt{2-x^{2}} + \sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-(x+\frac{1}{x})$

mọi người giúp em với, hôm qua em ngồi 2 tiếng đồng hồ mà ko ra ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

[NTPS2CBC]

$\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}\leq \frac{2-x^{2}+1}{2}+\frac{2-\frac{1}{x^{2}}+1}{2} =3-\frac{1}{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

Ta sẽ chứng minh: $3-\frac{1}{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})\leq 4-\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

Thật vậy:

$3-\frac{1}{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})\leq 4-\left ( x+\frac{1}{x} \right )\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\left ( x+\frac{1}{x} \right )+2\geq 0\Leftrightarrow \left ( x+\frac{1}{x} \right )\left ( x+\frac{1}{x}-2 \right )\geq 0$

Nếu $x > 0$ thì: $x+\frac{1}{x}\geq 2\Rightarrow \left ( x+\frac{1}{x} \right )\left ( x+\frac{1}{x}-2 \right )\geq 0$

Nếu $x < 0$ thì: $x+\frac{1}{x} < 0 \Rightarrow \left ( x+\frac{1}{x} \right )\left ( x+\frac{1}{x}-2 \right )> 0$

 

Dấu bằng xảy ra khi $x=1$, thử lại thấy đúng. Vậy $x=1$ là nghiệm của hệ

Edited by NTPS2CBC, 10-12-2013 - 09:48.