Cho $\left ( u_{n} \right )$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{2} & & \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}-u_{n}+1} & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $u_{1}+u_{2}+...+u_{n}< 1 \left ( n\in \mathbb{N} \right )$
$u_{1}+u_{2}+...+u_{n}< 1 \left ( n\in \mathbb{N} \right )$
Bắt đầu bởi Phuong Thu Quoc, 11-12-2013 - 15:52
dãy số tổng chứng minh cho
#1
Đã gửi 11-12-2013 - 15:52
Phuong Thu Quoc
-
- Thành viên
-
- 784 Bài viết
Trung úy
#2
Đã gửi 14-12-2013 - 13:44
vuvanquya1nct
-
- Thành viên
-
- 307 Bài viết
Sĩ quan
Cho $\left ( u_{n} \right )$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{2} & & \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}-u_{n}+1} & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $u_{1}+u_{2}+...+u_{n}< 1 \left ( n\in \mathbb{N} \right )$
Ta có: $a_{n+1}-1=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}-1=\frac{a_{n}-1}{a_{n}(a_{n}-1)+1}$
$\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}-1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}-1}$
$\Rightarrow =a_{n}=\frac{1}{a_{n+1}-1}-\frac{1}{a_{n}-1},\vee n\epsilon R$
$\Rightarrow S_{n}=a_1+a_2+...+a_{n}=2-\frac{1}{1-a_{n+1}}$
Từ đó $S_{n}<1\Leftrightarrow 2-\frac{1}{1-a_{n+1}}<1$
$\Leftrightarrow a_{n+1}>0$
Bài toán quy về $a_{n+1}>0$
Thật vậy,từ CTTH ta có $a_{n}^{2}-a_{n}+1> 0 ,\vee n$
Suy ra ngay $a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}>0$
=>ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuvanquya1nct: 14-12-2013 - 13:52
- Phuong Thu Quoc yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, tổng, chứng minh, cho
![$\lim_{n \to \infty }(\sqrt[n]{1+cos(2n)})$ - bài viết cuối bởi Lyua My](https://diendantoanhoc.org/public/style_images/royal/profile/default_large.png)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
