Chứng minh tồn tại ma trận vuông cấp 2012 khả nghịch có các phần tử đôi một khác nhau nhận các giá trị từ 1 đến 20122 ?
Chứng minh tồn tại ma trận vuông cấp 2012 khả nghịch có các phần tử đôi một khác nhau nhận các giá trị từ 1 đến 20122 ?
Mình sẽ đưa ra 1 lời giải cho bài tổng quát $Mat_{n}\left ( \mathbb{N} \right )$ với các hệ số $\left ( a_{i,j} \right )_{i,j \in \overline{1,n}}=\sigma (n^2)$, ở đây kí hiệu $\sigma (n^2)$ là hoán vị của $\overline{1,n^2}$.
Ta sẽ chứng minh $\forall n \in \mathbb{N^*}$, luôn tồn tại cách hoán vị $\left ( a_{i,j} \right )_{i,j \in \overline{1,n}}=\sigma (n^2)$ sao cho ma trận $A_n=(a_{i,j})_{i,j\in\overline{1,n}}$ nghịch đảo được.
Chứng minh bằng quy nạp.
Với $n=1$, hiển nhiên đúng.
Giả sử điều này đúng cho tới $k=n$, tức là $\text {det }A_n \neq 0 $, xét ma trận $A_{n+1}$ như sau :
$$A_{n+1}=\begin{bmatrix} a_{1,1} & (n^2+1) &...& (n^2+n) \\ a_{2,1} & \\. &&A_n\\. & & \\ a_{n+1,1} \end{bmatrix}$$
Với các hệ số $a_{i,1}=n^2+n+i$ , $\forall i \in \overline{1,n+1}$
Rõ ràng $A_{n+1}$ nhận các hệ số từ $1$ đến $(n+1)^2$.
Xét họ các ma trận $(B_{\sigma})$ được tạo ra bằng cách hoán vị các giá trị $a_{i,1}$ của $A_{n+1}$ (tức là thay đổi vị trí các phần tử của cột thứ nhất). Hiển nhiên các ma trận $B_{\sigma}$ này vẫn có các hệ số từ $1$ đến $(n+1)^2$.
Ta sẽ chứng minh trong họ ma trận $(B_{\sigma})$ đó, sẽ tồn tại ít nhất một ma trận nghịch đảo được. Thật vậy, bằng phản chứng, giả sử mọi ma trận $B_{\sigma}$ đều không nghịch đảo được, xét ma trận sau :
$$B=\begin{bmatrix}a_{2,1} & (n^2+1) &...& (n^2+n) \\ a_{1,1} & \\. &&A_n\\. & & \\ a_{n+1,1} \end{bmatrix}$$
Đó là ma trận đạt được bằng các hoán vị $a_{1,1}$ và $a_{2,1}$.
Giả thiết mọi ma trận $B_{\sigma}$ đều không nghịch đảo được, nên :
$\text {det } B = \text {det } A_{n+1} = 0$
Mà :
$\text{det } A_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1}a_{i,1}\left | A_{i,1}\right |=(-1)^{1+1}a_{1,1}\left | A_{1,1}\right |+(-1)^{2+1}a_{2,1}\left | A_{2,1}\right |+...+(-1)^{n+2}a_{n+1,1}\left | A_{n+1,1}\right |$
và :
$\text{det } B =(-1)^{1+1}a_{2,1}\left | A_{1,1}\right |+(-1)^{2+1}a_{1,1}\left | A_{2,1}\right |+(-1)^{3+1}a_{3,1}\left | A_{3,1}\right |+...+(-1)^{n+2}a_{n+1,1}\left | A_{n+1,1}\right |$
Trong đó $(-1)^{i+1} \left | A_{i,1}\right |$ là phần bù đại số của $a_{i,1}$.
Do vậy $(-1)^{1+1}a_{2,1}\left | A_{1,1}\right |+(-1)^{2+1}a_{1,1}\left | A_{2,1}\right |=(-1)^{1+1}a_{1,1}\left | A_{1,1}\right |+(-1)^{2+1}a_{2,1}\left | A_{2,1}\right |$
$\Rightarrow \left | A_{1,1}\right |=(-1)\left | A_{2,1}\right |$
Hoàn toàn tương tự, xét các ma trận $B_{\sigma}$ khác bằng cách hoán vị $a_{1,1}$ và $a_{k,1}$, ta sẽ được :
$ \left | A_{1,1}\right |=(-1)^{k+1}\left | A_{k,1}\right |$ $\forall k \in \overline{1,n+1}$
Để ý là $\left | A_{1,1}\right |=\text {det }A_n \neq 0$ (giả thiết quy nạp), cho nên :
$\text{det } A_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} a_{i,1} (\text {det }A_n) \neq 0$ do $\text {det }A_n \neq 0 $ và $a_{i,1} \neq 0$.
Mâu thuẫn.
Do vậy trong luôn tồn tại ít nhất một ma trận $B_{\sigma}$ có định thức khác 0, tức là nghịch đảo được !
0 members, 1 guests, 0 anonymous users