Chủ đề này có 1 trả lời

[Lam Thanh Chuong]

Chứng minh tồn tại ma trận vuông cấp 2012 khả nghịch có các phần tử đôi một khác nhau nhận các giá trị từ 1 đến 2012² ?

 

[duongkhuyettam]

Mình sẽ đưa ra 1 lời giải cho bài tổng quát $Mat_{n}\left ( \mathbb{N} \right )$ với các hệ số $\left ( a_{i,j} \right )_{i,j \in \overline{1,n}}=\sigma (n^2)$, ở đây kí hiệu $\sigma (n^2)$ là hoán vị của $\overline{1,n^2}$.

 

Ta sẽ chứng minh $\forall n \in \mathbb{N^*}$, luôn tồn tại cách hoán vị $\left ( a_{i,j} \right )_{i,j \in \overline{1,n}}=\sigma (n^2)$ sao cho ma trận $A_n=(a_{i,j})_{i,j\in\overline{1,n}}$ nghịch đảo được.

 

Chứng minh bằng quy nạp.

Với $n=1$, hiển nhiên đúng.

 

Giả sử điều này đúng cho tới $k=n$, tức là $\text {det }A_n \neq 0 $, xét ma trận $A_{n+1}$ như sau :

 

$$A_{n+1}=\begin{bmatrix} a_{1,1} & (n^2+1) &...& (n^2+n) \\ a_{2,1} & \\. &&A_n\\. & & \\ a_{n+1,1} \end{bmatrix}$$

 

Với các hệ số $a_{i,1}=n^2+n+i$ ,  $\forall i \in \overline{1,n+1}$

 

Rõ ràng $A_{n+1}$ nhận các hệ số từ $1$ đến $(n+1)^2$.

 

Xét họ các ma trận $(B_{\sigma})$ được tạo ra bằng cách hoán vị các giá trị $a_{i,1}$ của $A_{n+1}$ (tức là thay đổi vị trí các phần tử của cột thứ nhất). Hiển nhiên các ma trận $B_{\sigma}$ này vẫn có các hệ số từ $1$ đến $(n+1)^2$.

 

Ta sẽ chứng minh trong họ ma trận $(B_{\sigma})$ đó, sẽ tồn tại ít nhất một ma trận nghịch đảo được. Thật vậy, bằng phản chứng, giả sử mọi ma trận $B_{\sigma}$ đều không nghịch đảo được, xét ma trận sau :

 

$$B=\begin{bmatrix}a_{2,1} & (n^2+1) &...& (n^2+n) \\ a_{1,1} & \\. &&A_n\\. & & \\ a_{n+1,1} \end{bmatrix}$$

 

Đó là ma trận đạt được bằng các hoán vị $a_{1,1}$ và $a_{2,1}$. 

 

Giả thiết mọi ma trận $B_{\sigma}$ đều không nghịch đảo được, nên : 

 

$\text {det } B = \text {det } A_{n+1} = 0$

 

Mà :

 

$\text{det } A_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1}a_{i,1}\left | A_{i,1}\right |=(-1)^{1+1}a_{1,1}\left | A_{1,1}\right |+(-1)^{2+1}a_{2,1}\left | A_{2,1}\right |+...+(-1)^{n+2}a_{n+1,1}\left | A_{n+1,1}\right |$

 

và :

 

$\text{det } B =(-1)^{1+1}a_{2,1}\left | A_{1,1}\right |+(-1)^{2+1}a_{1,1}\left | A_{2,1}\right |+(-1)^{3+1}a_{3,1}\left | A_{3,1}\right |+...+(-1)^{n+2}a_{n+1,1}\left | A_{n+1,1}\right |$

 

Trong đó $(-1)^{i+1} \left | A_{i,1}\right |$ là phần bù đại số của $a_{i,1}$.

 

Do vậy $(-1)^{1+1}a_{2,1}\left | A_{1,1}\right |+(-1)^{2+1}a_{1,1}\left | A_{2,1}\right |=(-1)^{1+1}a_{1,1}\left | A_{1,1}\right |+(-1)^{2+1}a_{2,1}\left | A_{2,1}\right |$

 

$\Rightarrow \left | A_{1,1}\right |=(-1)\left | A_{2,1}\right |$

 

 

Hoàn toàn tương tự, xét các ma trận $B_{\sigma}$ khác bằng cách hoán vị $a_{1,1}$ và $a_{k,1}$, ta sẽ được :

 

$ \left | A_{1,1}\right |=(-1)^{k+1}\left | A_{k,1}\right |$   $\forall k \in \overline{1,n+1}$

 

Để ý là $\left | A_{1,1}\right |=\text {det }A_n \neq 0$ (giả thiết quy nạp), cho nên :

 

 

$\text{det } A_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} a_{i,1} (\text {det }A_n)  \neq 0$ do $\text {det }A_n \neq 0 $ và $a_{i,1} \neq 0$.

 

Mâu thuẫn.

 

Do vậy trong luôn tồn tại ít nhất một ma trận $B_{\sigma}$ có định thức khác 0, tức là nghịch đảo được !