Chủ đề này có 4 trả lời

[thanhelf96]

cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:

$H=\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^{2}+b^{2}}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}}$

 

[kfcchicken98]

chuẩn hóa $a+b+c=1$

bđt tuong đương $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}+\frac{b(1-b)}{(1-b)^{2}+b^{2}}+\frac{c(1-c)}{(1-c)^{2}+c^{2}}$

có $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}=\frac{a(1-a)}{2a^{2}-2a+1}=\frac{a(1-a)}{1-2a(1-a)}\leq \frac{a(1-a)}{1-\frac{(a+1)^{2}}{4}}=\frac{a(1-a)}{(1-\frac{a+1}{2})(1+\frac{a+1}{2})}=\frac{4a(1-a)}{(1-a)(a+3)}=\frac{4a}{a+3}=4-\frac{12}{a+3}$

suy ra $H\leq 12-12(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3})\leq 12-12\frac{9}{10}=\frac{6}{5}$

suy ra max= $\frac{6}{5}$

[Hoang Tung 126]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$.Ta sẽ CM :$H\leq \frac{6}{5}$

BĐT $< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mà $\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \sum \frac{2a+3}{25}< = > (a-1)^2(a+2)\geq 0$(đúng)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$

[thanhelf96]

chuẩn hóa $a+b+c=1$

bđt tuong đương $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}+\frac{b(1-b)}{(1-b)^{2}+b^{2}}+\frac{c(1-c)}{(1-c)^{2}+c^{2}}$

có $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}=\frac{a(1-a)}{2a^{2}-2a+1}=\frac{a(1-a)}{1-2a(1-a)}\leq \frac{a(1-a)}{1-\frac{(a+1)^{2}}{4}}=\frac{a(1-a)}{(1-\frac{a+1}{2})(1+\frac{a+1}{2})}=\frac{4a(1-a)}{(1-a)(a+3)}=\frac{4a}{a+3}=4-\frac{12}{a+3}$

suy ra $H\leq 12-12(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3})\leq 12-12\frac{9}{10}=\frac{6}{5}$

suy ra max= $\frac{6}{5}$

bạn ơi! cho mình hỏi chuẩn hóa nghĩa là thê nào với? làm sao để có được kết quả a+b+c=1

[thanhelf96]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$.Ta sẽ CM :$H\leq \frac{6}{5}$

BĐT $< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mà $\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \sum \frac{2a+3}{25}< = > (a-1)^2(a+2)\geq 0$(đúng)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$

bạn ơi! cho mình hỏi làm thế nào để có kết quả chuẩn hóa bằng 3 vậy bạn?