Câu 1: Cho $A$ là ma trận cấp $mxn$, Phát biểu nào sau đây sai?
A. Nếu hệ vectơ dòng của $A$ độc lập tuyến tính thì vectơ cột của $A$ cũng độc lập tuyến tính
B. Nếu $r(A)=m$ thì hệ vectơ dòng của $A$ độc lập tuyến tính
C. Nếu hệ vectơ dòng của $A$ là cơ sở của $R^{n}$ thì $m=n$
D. Nếu $r(A)=n$ thì hệ vectơ cột của $A$ độc lấp tuyến tính
Ở đây mình phân vân giữa A và C.
Với đáp án A. Ta biết $r(A)=$số vectơ dòng độc lập tuyến tính$=$ số vectơ cột độc lấp tuyến tính(đltt). Với trường hợp $n>m$ thì khi đó nếu hệ dòng đltt thì hệ cột sẽ pttt, do đề không nói rõ $n=m$ hay $n>m$ nên câu A sai.
Với đáp án C. Mình cho ví dụ $A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &7 &5 \\ 3 &6 &9 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &-1 &-7 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}$ Với $m=n$ nhưng $detA=0$ nên không là cơ sở. Vậy câu C sai.
Vậy các bạn chọn đáp án nào.