Chủ đề này có 4 trả lời

[vohongdinh]

cho ánh xạ f: R3 --> R3

$\forall x = (x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb{R}_{3}, f(x)=( 2x_{1} - 6x_{2} +2x_{3},x_{1} - 3x_{2} + x_{3}, 3x_{1} - 9x_{2} +3x_{3}$

 

a, chứng minh f là 1 ánh xạ tuyến tính

b, tìm số chiều và cơ sở của Ker f, Tìm dim(Im f )

c, Xác định ma trận f ứng với hệ cơ sở $\left \{ u_{1},u_{2},u_{3} \right \} \in \mathbb{R}^{3}$ với

$u_{1}=\left ( 1,1,0 \right )$ , $u_{2}=\left ( 1,0,1 \right )$ , $u_{3}=\left ( 0,1,1 \right )$

 

Mấy ah chị giúp dùm em mấy phần này em chưa hiều 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vohongdinh: 17-12-2013 - 17:31

[kimmai]

Bài này cơ bản , bạn xem lại lý thuyết là làm được .

[maitram]

a) Ta có :

• $f(\alpha x)=f(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\alpha x_{3})$

$=(2\alpha x_{1}-6\alpha x_{2}+2\alpha x_{3};\alpha x_{1}-3\alpha x_{2}+\alpha x_{3};3\alpha x_{1}-9\alpha x_{2}+3\alpha x_{3})$

$=\alpha(2x_{1}-6x_{2}+2x_{3};x_{1}-3x_{2}+x_{3};3x_{1}-9x_{2}+3x_{3})$

$=\alpha f(x)$

 

• $f(x+x')=f(x_{1}+x'_{1},x_{2}+x'_{2},x_{3}+x'_{3})$

$=2(x_{1}+x'_{1})-6(x_{2}+x'_{2})+2(x_{3}+x'_{3}),(x_{1}+x'_{1})-3(x_{2}+x'_{2})+(x_{3}+x'_{3}),3(x_{1}+x'_{1})-9(x_{2}+x'_{2})+3(x_{3}+x'_{3})$

$=(2x_{1}-6x_{2}+2x_{3},x_{1}-3x_{2}+x_{3},3x_{1}-9x_{2}+3x_{3})+(2x'_{1}-6x'_{2}+2x'_{3},x'_{1}-3x'_{2}+x'_{3},3x'_{1}-9x'_{2}+3x'_{3})$

$=f(x)+f(x')$

 

=> f là 1 ánh xạ tuyến tính

 

b) $Ker f=\left \{ (x_{1},x_{2},x_{3}):2x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=0;x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0;3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}=0 \right \}$

Xét hệ pt :

$\left\{\begin{matrix} 2x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=0\\ x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0\\ 3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=3a-b\\ x_{2}=a\\ x_{3}=b \end{matrix}\right.$

 

=> 1 cơ sở của Ker f là ( 3,1,0) , ( -1,0,1) và dim (Ker f) = 2

$dim(Kerf)+dim(Imf)=3$

$\Rightarrow dim(Imf)=1$

 

c) Đặt $U=\left \{ u_{1},u_{2},u_{3} \right \}$

$[f(u_{1})]_{U}=\begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}$ , $[f(u_{2})]_{U}=\begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}$ , $[f(u_{3})]_{U}=\begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}$

=> Ma trận của f trong cơ sở U

$A=\begin{pmatrix} -4 &4 &-4 \\ -2 &2 &-2 \\ -6 &6 &-6 \end{pmatrix}$

 

 

 

 

[vohongdinh]

a) Ta có :

• $f(\alpha x)=f(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\alpha x_{3})$
• 
  

$=(2\alpha x_{1}-6\alpha x_{2}+2\alpha x_{3};\alpha x_{1}-3\alpha x_{2}+\alpha x_{3};3\alpha x_{1}-9\alpha x_{2}+3\alpha x_{3})$

$=\alpha(2x_{1}-6x_{2}+2x_{3};x_{1}-3x_{2}+x_{3};3x_{1}-9x_{2}+3x_{3})$

$=\alpha f(x)$

 

• $f(x+x')=f(x_{1}+x'_{1},x_{2}+x'_{2},x_{3}+x'_{3})$
• 
  

$=2(x_{1}+x'_{1})-6(x_{2}+x'_{2})+2(x_{3}+x'_{3}),(x_{1}+x'_{1})-3(x_{2}+x'_{2})+(x_{3}+x'_{3}),3(x_{1}+x'_{1})-9(x_{2}+x'_{2})+3(x_{3}+x'_{3})$

$=(2x_{1}-6x_{2}+2x_{3},x_{1}-3x_{2}+x_{3},3x_{1}-9x_{2}+3x_{3})+(2x'_{1}-6x'_{2}+2x'_{3},x'_{1}-3x'_{2}+x'_{3},3x'_{1}-9x'_{2}+3x'_{3})$

$=f(x)+f(x')$

 

=> f là 1 ánh xạ tuyến tính

 

b) $Ker f=\left \{ (x_{1},x_{2},x_{3}):2x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=0;x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0;3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}=0 \right \}$

Xét hệ pt :

$\left\{\begin{matrix} 2x_{1}-6x_{2}+2x_{3}=0\\ x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0\\ 3x_{1}-9x_{2}+3x_{3}=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=3a-b\\ x_{2}=a\\ x_{3}=b \end{matrix}\right.$

 

=> 1 cơ sở của Ker f là ( 3,1,0) , ( -1,0,1) và dim (Ker f) = 2

$dim(Kerf)+dim(Imf)=3$

$\Rightarrow dim(Imf)=1$

 

c) Đặt $U=\left \{ u_{1},u_{2},u_{3} \right \}$

$[f(u_{1})]_{U}=\begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}$ , $[f(u_{2})]_{U}=\begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}$ , $[f(u_{3})]_{U}=\begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}$

=> Ma trận của f trong cơ sở U

$A=\begin{pmatrix} -4 &4 &-4 \\ -2 &2 &-2 \\ -6 &6 &-6 \end{pmatrix}$

Bạn có thể giải thích câu b cho mình được không mình không rõ lắm

[Nxb]

cho ánh xạ f: R3 --> R3

$\forall x = (x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb{R}_{3}, f(x)=( 2x_{1} - 6x_{2} +2x_{3},x_{1} - 3x_{2} + x_{3}, 3x_{1} - 9x_{2} +3x_{3}$

 

a, chứng minh f là 1 ánh xạ tuyến tính

b, tìm số chiều và cơ sở của Ker f, Tìm dim(Im f )

c, Xác định ma trận f ứng với hệ cơ sở $\left \{ u_{1},u_{2},u_{3} \right \} \in \mathbb{R}^{3}$ với

$u_{1}=\left ( 1,1,0 \right )$ , $u_{2}=\left ( 1,0,1 \right )$ , $u_{3}=\left ( 0,1,1 \right )$

 

Mấy ah chị giúp dùm em mấy phần này em chưa hiều 

Câu này nói chung có thể hiểu một cách tổng quát như sau.  $\mathbb{K}$ là một trường thì ánh xạ f được xác định như sau

$$f:{\mathbb{K}}^{n} \rightarrow {\mathbb{K}}^{m}$$

$$v \rightarrow Av$$

trong đó A là một ma trận cỡ m nhân n trên $\mathbb{K}$ là một ánh xạ tuyến tính. Các trường hợp riêng của nó trên ${\mathbb{R}}^{2}$ sẽ ứng với các phép biến hình quen thuộc ở phổ thông. Ánh xạ này tuyến tính là do:

$$f(av_1+bv_2)=A(av_1+bv_2)=aAv_1+bAv_2=af(v_1)+bf(v_2)$$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 21-12-2013 - 21:09