Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

* * * - - 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. CMR $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#2
rongthan

rongthan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rongthan: 19-12-2013 - 21:36


#3
rongthan

rongthan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết


cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. CMR $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

 

Trước hết ta có:

$P= \sum \dfrac{a}{b^2+c^2+2}= \sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} $

ta cần chứng minh BDT:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} \ge \dfrac{3\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{8}$

Dễ dàng nhận thấy đây là 1 BDT đồng bậc. Do vậy ta chuẩn hoá: $a+b+c=1$

Và ta sẽ chứng minh BDT mạnh hơn 1 chút:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} \ge \dfrac{3}{8}$

Xét:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} -a = \dfrac{a}{1-a^2}-a = \dfrac{a^3}{1-a^2}= \dfrac{a^3}{(b+c)(2a+b+c)}$

Mà: $ \left[ \sum \dfrac{a^3}{(b+c)(2a+b+c)} \right]. \left[ \sum \dfrac{a(2a+b+c)}{b+c} \right] \ge \left[ \sum \dfrac{a^2}{b+c} \right] ^2$

Đến đây đặt: $t= \sum \dfrac{a^2}{b+c} \ge \dfrac{a+c+b}{2} \ge \dfrac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{2}$

Thì: $VT \ge \dfrac{t^2}{2t+1}$

Hàm này đồng biến trên $\left[ \dfrac{\sqrt{3}}{2}; + \infty \right]$

nên ta có đpcm.

Dấu đẳng thức khi $a=b=c= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rongthan: 19-12-2013 - 21:45


#4
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Trước hết ta có:

$P= \sum \dfrac{a}{b^2+c^2+2}= \sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} $

ta cần chứng minh BDT:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} \ge \dfrac{3\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{8}$

Dễ dàng nhận thấy đây là 1 BDT đồng bậc. Do vậy ta chuẩn hoá: $a+b+c=1$

Và ta sẽ chứng minh BDT mạnh hơn 1 chút:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} \ge \dfrac{3}{8}$

Xét:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} -a = \dfrac{a}{1-a^2}-a = \dfrac{a^3}{1-a^2}= \dfrac{a^3}{(b+c)(2a+b+c)}$

Mà: $ \left[ \sum \dfrac{a^3}{(b+c)(2a+b+c)} \right]. \left[ \sum \dfrac{a(2a+b+c)}{b+c} \right] \ge \left[ \sum \dfrac{a^2}{b+c} \right] ^2$

Đến đây đặt: $t= \sum \dfrac{a^2}{b+c} \ge \dfrac{a+c+b}{2} \ge \dfrac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{2}$

Thì: $VT \ge \dfrac{t^2}{2t+1}$

Hàm này đồng biến trên $\left[ \dfrac{\sqrt{3}}{2}; + \infty \right]$

nên ta có đpcm.

Dấu đẳng thức khi $a=b=c= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bạn sai lầm ở 2 chỗ: thứ nhất là BĐT đó $VT$ có bậc $-1$ còn $VP$ có bậc 1. Thứ 2, $\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} \ge \dfrac{3}{8}$ là BĐT yếu hơn chứ không phải mạnh hơn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh