Chủ đề này có 5 trả lời

[phatthientai]

Tìm tất cả hàm đơn điệu $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho $f\left( xf\left( y \right) \right)=yf\left( 2x \right)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$ 

 

 

[namcpnh]

Gợi ý thôi nhé :

 

Ta sẽ làm các công việc: CM $f(0)=0$

 

Thay $x$ bởi $f(x)$ , đổi vai trò $x,y$ rồi so sánh.

 

Cuối cùng biện luận : $f(x)>2x$ và $f(x)<2x$ đều không thỏa.

 

=> $f(x)=2x$

 

Đã sửa do $f$ đơn điệu nên $f$ không thể đồng nhất với $0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 22-12-2013 - 17:45

[NLT]

Tìm tất cả hàm đơn điệu $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho $f\left( xf\left( y \right) \right)=yf\left( 2x \right)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$ 

 

Cách khác: Tính được $f(0)=0$

Từ giả thiết suy ra: $f(f(y))=y.f(2)$.

Nếu $f(2)$ khác $2$, cho $y=1 \to f(x.f(1))=f(2x) \to x.f(1)=f(2x) \to f(x)=cx$. Thử lại và tìm $c$.

Nếu $f(2)=0$, thế $y=2$ vào pt đầu đc: $0=f(0)=2.f(4) \to f(4)=0$, tương tự $f(2^n)=0$.

Rõ ràng $f$ có vô hạn không điểm nên $f$ đồng nhất $0$.

Vậy tìm đc 2 hàm 

[tran thanh binh dv class]

Gợi ý thôi nhé :

 

$f(x)=0$ thoả.

 

Xét $f$ không đồng nhất với $0$.

 

Ta se làm các công việc: CM $f(0)=0$

 

Thay $x$ bởi $f(x)$ , đổi vai trò $x,y$ rồi so sánh.

 

Cuối cùng biện luận : $f(x)>2x$ và $f(x)<2x$ đều không thỏa.

 

=> $f(x)=2x$

 

@: có vẻ hàm đơn điệu dư.

 

Để biện luận $f(x)>2x$ và $f(x)<2x$ đều không thỏa mãn thì phải dùng tính đơn điệu. Giả thiết đơn điệu là rất quan trọng

 

 

Cách khác: Tính được $f(0)=0$

Từ giả thiết suy ra: $f(f(y))=y.f(2)$.

Nếu $f(2)$ khác $2$, cho $y=1 \to f(x.f(1))=f(2x) \to x.f(1)=f(2x) \to f(x)=cx$. Thử lại và tìm $c$.

Nếu $f(2)=0$, thế $y=2$ vào pt đầu đc: $0=f(0)=2.f(4) \to f(4)=0$, tương tự $f(2^n)=0$.

Rõ ràng $f$ có vô hạn không điểm nên $f$ đồng nhất $0$.

Vậy tìm đc 2 hàm 

 

$f(x.f(1))=f(2x) \to x.f(1)=f(2x)$

Nhầm rồi $f(x.f(1))=f(2x) \to x.f(1)=2x$

 

Bài này phải dùng tính đơn điệu để giải:

Gọi phương trình hàm ban đầu là (1).
Thế x bởi 0, y bởi 0 vào (1) suy ra $f(0)=0$
Thế x bởi 1 vào (1) suy ra $f(f(y))=yf(2)$

 +Nếu $f(2)=0$ thay y bằng 2 vào (1) ta có $f(0)=2f(2x)$
Suy ra $f(x)=c$ thử trực tiếp ta có $f(x)=0$.

 +Nếu $f(2) \neq 0$ Thì ta có f song ánh.

Thay x bởi 2 vào (1) ta có $f(2f(y))=yf(4)$

Giả sử $f(2) \neq 4 $ Khi đó

nếu $f(2)>4\Rightarrow f(f(2))>f(4)\Rightarrow 2f(2)>f(4)\Rightarrow f(2f(2))>f(f(4))\Rightarrow 2f(4)>4f(2)\Rightarrow f(4)>2f(2)$

(vô lý)

 

nếu $f(2)<4 ...$ (vô lý)

Vậy $f(2)=4$ suy ra $f(f(y))=4y$

Thay y bởi 2, x bởi x/2 vào (1) ta được $f(2x)=2f(x)$

Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)\neq 2x_0$

Không mấy tính tổng quát giả sử $f(x_0) > 2x_0$ suy ra

$f(f(x_0))>f(2x_0)\Rightarrow 4x_0>2f(x_0)\Rightarrow 2x_0>f(x_0)$ (Vô lý)

Vậy $f(x)=2x$  với mọi x thuộc R hoặc $f(x)=0$ với mọi x thuộc R. ( Thử lại tm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran thanh binh dv class: 22-12-2013 - 01:33

[phatthientai]

Để biện luận $f(x)>2x$ và $f(x)<2x$ đều không thỏa mãn thì phải dùng tính đơn điệu. Giả thiết đơn điệu là rất quan trọng

 

 

 

$f(x.f(1))=f(2x) \to x.f(1)=f(2x)$

Nhầm rồi $f(x.f(1))=f(2x) \to x.f(1)=2x$

 

Bài này phải dùng tính đơn điệu để giải:

Gọi phương trình hàm ban đầu là (1).
Thế x bởi 0, y bởi 0 vào (1) suy ra $f(0)=0$
Thế x bởi 1 vào (1) suy ra $f(f(y))=yf(2)$

 +Nếu $f(2)=0$ thay y bằng 2 vào (1) ta có $f(0)=2f(2x)$
Suy ra $f(x)=c$ thử trực tiếp ta có $f(x)=0$.

 +Nếu $f(2) \neq 0$ Thì ta có f song ánh.

Thay x bởi 2 vào (1) ta có $f(2f(y))=yf(4)$

Giả sử $f(2) \neq 4 $ Khi đó

nếu $f(2)>4\Rightarrow f(f(2))>f(4)\Rightarrow 2f(2)>f(4)\Rightarrow f(2f(2))>f(f(4))\Rightarrow 2f(4)>4f(2)\Rightarrow f(4)>2f(2)$

(vô lý)

 

nếu $f(2)<4 ...$ (vô lý)

Vậy $f(2)=4$ suy ra $f(f(y))=4y$

Thay y bởi 2, x bởi x/2 vào (1) ta được $f(2x)=2f(x)$

Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)\neq 2x_0$

Không mấy tính tổng quát giả sử $f(x_0) > 2x_0$ suy ra

$f(f(x_0))>f(2x_0)\Rightarrow 4x_0>2f(x_0)\Rightarrow 2x_0>f(x_0)$ (Vô lý)

Vậy $f(x)=2x$  với mọi x thuộc R hoặc $f(x)=0$ với mọi x thuộc R. ( Thử lại tm)

Hàm đơn điệu đâu có tính $f(x)=0$ đâu bạn? Bài này bạn có cần xét đến nghịch biến không?

 

Thay x bằng 0, ta có $f\left ( 0 \right )=yf\left ( 0 \right )$ với mọi y thuộc R

                nên từ đó $f\left ( 0 \right )=0$

thay y bằng 1 ta có $f\left ( xf\left ( 1 \right ) \right )=f\left ( 2x \right )$, với mọi x thuộc R kết hợp tính chất hàm đơn điệu suy ra  $f\left ( 1 \right )=2$

từ đó suy hàm f đơn điệu tăng

Thay x bởi $\frac{1}{2}$, kết hợp $f\left ( 1 \right )=2$ ta được $f\left ( \frac{1}{2}f\left ( y \right ) \right )=2y$, với mọi y thuộc R

Giả sử $\frac{1}{2}f\left ( y \right )>y$, lấy f 2 vế suy ra $2y>f(y)$: vô lí

trường hợp $\frac{1}{2}f\left ( y \right )<y$ làm tương tự

vậy ta có với mọi y thuộc R , $f\left ( y \right )=2y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthientai: 22-12-2013 - 14:34

[tran thanh binh dv class]

Đơn điệu vẫn có thể là hằng số mà. Đâu phải đơn điệu thực sự đâu?

Còn về cái hàm nghịch biến làm tương tự ( Mình nói không mất tính tổng quát giả sử $f(x_0)>2x_0$ rồi ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran thanh binh dv class: 22-12-2013 - 17:42