Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hi lucky

hi lucky

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 20-12-2013 - 23:58

Chứng minh rằng:

$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$


Hãy theo đuổi đam mê  :icon11: thành công sẽ đuổi theo bạn!  %%-  %%-  %%- 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1960 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 06-03-2019 - 13:32

Chứng minh rằng:

$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$

Đặt $S=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{1+k^2}\ C_{2n}^{n+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{1+k^2}\ C_{2n}^{n-k}$

Xét 2 trường hợp :

+ $n$ chẵn ($n=2m$) :

   Khi đó $S$ có thể viết thành tổng của $m$ tổng con ($S_1,S_2,...,S_m$), mỗi tổng con là tổng của 2 số hạng liên tiếp của $S$.

   Xét tổng con thứ $j$ bất kỳ ($1\leqslant j\leqslant m$), ta có :

  $S_j=\frac{(-1)^{2j-1}}{1+(2j-1)^2}\ C_{4m}^{2m-2j+1}+\frac{(-1)^{2j}}{1+(2j)^2}\ C_{4m}^{2m-2j}=-\frac{C_{4m}^{2m-2j+1}}{1+(2j-1)^2}+\frac{C_{4m}^{2m-2j}}{1+(2j)^2}$

   Chú ý rằng $C_{4m}^{2m-2j+1}> C_{4m}^{2m-2j}$ và $1+(2j-1)^2< 1+(2j)^2$. Do đó $\frac{C_{4m}^{2m-2j+1}}{1+(2j-1)^2}> \frac{C_{4m}^{2m-2j}}{1+(2j)^2}$

   Từ đó suy ra $S_j< 0,\forall j$ từ $1$ đến $m$ $\Rightarrow S=\sum_{j=1}^{m}S_j< 0$

 

+ $n$ lẻ ($n=2m+1$) :

   Khi đó $S$ có thể viết thành tổng của m+1 tổng con ($S_1,S_2,...,S_{m+1}$), mỗi tổng con là tổng của 2 số hạng liên tiếp của $S$, riêng tổng con thứ m+1 chỉ có 1 số hạng là số hạng cuối cùng của $S$.

   Xét tổng con thứ $j$ bất kỳ ($1\leqslant j\leqslant m$), ta có :

  $S_j=\frac{(-1)^{2j-1}}{1+(2j-1)^2}\ C_{4m+2}^{2m-2j+2}+\frac{(-1)^{2j}}{1+(2j)^2}\ C_{4m+2}^{2m-2j+1}=-\frac{C_{4m+2}^{2m-2j+2}}{1+(2j-1)^2}+\frac{C_{4m+2}^{2m-2j+1}}{1+(2j)^2}$

   Chú ý rằng $C_{4m+2}^{2m-2j+2}> C_{4m+2}^{2m-2j+1}$ và $1+(2j-1)^2< 1+(2j)^2$. Do đó $\frac{C_{4m+2}^{2m-2j+2}}{1+(2j-1)^2}> \frac{C_{4m}^{2m-2j+1}}{1+(2j)^2}$

   Từ đó suy ra $S_j< 0,\forall j$ từ $1$ đến $m$. Mặt khác, $S_{m+1}$ là số hạng thứ 2m+1 của $S$ nên nó cũng âm.

   $\Rightarrow S=S_{m+1}+\sum_{j=1}^{m}S_j< 0$

 

Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có $S< 0$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh