Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leqslant \frac{3}{5}.$
Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leqslant \frac{3}{5}.$
Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leqslant \frac{3}{5}.$
theo cachy schawrt
$a\left ( \frac{4}{2a}+\frac{9}{a+b+c} \right )\geq \frac{25a}{3a+b+c}$
thiết lập các bất đẳng thức tương tự cộng lại ta có đpcm
Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leqslant \frac{3}{5}.$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{3a+b+c}$$= \frac{b+c}{9a+3b+3c}$
Bđt trở thành
$\sum \frac{b+c}{9a+3b+3c}\geq \frac{2}{5}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(b+c)^{2}}{9ab+9ac+3b^{2}+3c^{2}+6bc}\geq \frac{2}{5}$
$\sum \frac{(b+c)^{2}}{9ab+9ac+3b^{2}+3c^{2}+6bc}\geq$$\frac{4(a+b+c)^{2}}{6\sum a^{2}+48\sum ab}$
ta cần cm
$\frac{4(a+b+c)^{2}}{6\sum a^{2}+48\sum ab}\geq \frac{2}{5}$
$\Leftrightarrow 20(a+b+c)^{2}\geq 12\sum a^{2}+48\sum ab$$\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \sum ab$(bđt đúng)
Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leqslant \frac{3}{5}.$
Ta có : $\frac{1}{3}-\frac{a}{3a+b+c}=\frac{b+c}{9a+3b+3c}$
Ta có : $\frac{b+c}{9a+3b+3c}=\frac{1}{6}.\frac{6b+6c}{9a+3b+3c}=\frac{1}{6}\left ( \frac{9a+9b+9c}{9a+3b+3c}-1 \right )\Rightarrow \sum \frac{b+c}{9a+3b+3c}=\frac{1}{6}\left [ \left ( 9a+9b+9c \right )\left ( \sum \frac{1}{9a+3b+3c} \right )-3 \right ]\geq \frac{1}{9}\left [ \left ( 9a+9b+9c \right ).\frac{9}{15a+15b+15c}-3 \right ]=\frac{2}{5}$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{3}{5}$
Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+b+a}\leqslant \frac{3}{5}.$
Ta có:
$VP-VT=\frac{2}{5}\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{(3a+b+c)(3b+c+a)}\geqslant 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 12-05-2021 - 20:45
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh