Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình $7^x+9^x=6^x+10^x$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
thienminhdv

thienminhdv

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Giải phương trình $7^x+9^x=6^x+10^x$



#2
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Dễ cm được: x chia cho 4 dư 1

*TH1: x=1 là nghiệm của phương trình

*TH2: x=5 không là nghiệm

*TH: $x\geq 7$

Ta có: $10^{x}=(9+1)^{x}=9^{x}+x.9^{x-1}+...+1>9^{x}+x.9^{x-1}>9^{x}+x.7^{x-1}\geq 9^{x}+7^{x}$ ( vô lý)

Vậy S={1}



#3
thienminhdv

thienminhdv

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Dễ cm được: x chia cho 4 dư 1

*TH1: x=1 là nghiệm của phương trình

*TH2: x=5 không là nghiệm

*TH: $x\geq 7$

Ta có: $10^{x}=(9+1)^{x}=9^{x}+x.9^{x-1}+...+1>9^{x}+x.9^{x-1}>9^{x}+x.7^{x-1}\geq 9^{x}+7^{x}$ ( vô lý)

Vậy S={1}

Giải vậy sai rùi bạn còn nghệm x=0 mà



#4
xxSneezixx

xxSneezixx

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết


Giải phương trình $7^x+9^x=6^x+10^x$

Giải:

$$7^x+9^x=6^x+10^x$$

$$\Leftrightarrow 7^x + (16 -7)^x= 6^x + (16-6)^x           (1)$$

Giả sử pt có nghiệm $\alpha$. Từ $(1)$ ta có 

$$\Leftrightarrow 7^\alpha + (16 -7)^\alpha= 6^\alpha + (16-6)^\alpha                                    (2)$$

Xét hàm số $f(t)= \left(16 -t \right )^\alpha+ t^\alpha$, với $t>0 $. Từ $(2) $ ta có 

$$f(7)= f(6)\Leftrightarrow f(7)- f(6) =0 $$

Rõ ràng hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left [ 6;7 \right ]$ và $f'(t)= \alpha \left[ -(16 - t)^{\alpha -1 }+ t^{\alpha -1}\right ], \forall t \in (6;7).$

Theo định lý Lagrange, tồn tại $c\in (6;7)$ sao cho 

$$f(7)-f(6)=f'(c)(7-6)=0\Leftrightarrow f'(c)=0$$

$\Leftrightarrow\alpha \left[ -(16 - c)^{\alpha -1 }+ c^{\alpha -1}\right ]=0\Leftrightarrow \alpha =0\vee (16 - c)^{\alpha -1 }= c^{\alpha -1} \Leftrightarrow\alpha =0 \vee\alpha=1$

Thay $x=1, x=0 $ vào pt đã cho thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt đã cho là $x=0,x=1$


$$\mathfrak{Curiosity}$$

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh