Lời giải. Dễ thấy rằng $p \ne q$. Không mất tính tổng quát, giả sử $p>q$.
Nếu $q=2$ thì ta có $2p|p^p+5$ suy ra $p=5$.
Nếu $q \ne 2$, từ giả thiết ta suy ra $q|p^p+1$ nên $q|p^{2p}-1$. Khi đó ta suy ra $\text{ord}_qp|2p$ và $\text{ord}_qp|q-1$ (vì theo định lý Fermat nhỏ thì $p^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$). Vì $\text{ord}_qp|q-1$ nên $\text{ord}_qp<q$ mà $\text{ord}_qp|2p$ nên $\text{ord}_qp|2$ (vì $p>q$). Do đó hoặc $q|p-1$ hoặc $q|p+1$.
Với $q|p-1$ thì $q|p^p-1$. Do đó $q|2$ nên $q=2$, mâu thuẫn. Vậy $q|p+1$.
Lập luận tương tự, ta thu được $\text{ord}_pq|2q$ và $\text{ord}_pq|p-1$.
Nếu $\gcd( \text{ord}_pq,q)>1$ thì $q|p-1$ mà $q|p+1$ nên $2|q$, mâu thuẫn. Vậy $\gcd( \text{ord}_pq,q)=1$. Do đó $\text{ord}_pq|2$. Ta thu được $p|q-1$ hoặc $p|q+1$. Tuy nhiên vì $p\ge q+1$ nên $p=q+1$. Do đó $q=2$, mâu thuẫn.
Vậy $\boxed{(p,q)=(2,5),(5,2)}$.
Giờ mới để ý cặp $(2,5),(5,2)$ đâu thỏa mãn đâu Toàn.
Lời giải :
Bổ đề quen thuộc : Cho các số nguyên tố $p,q,r$ trong đó $p$ lẻ và thỏa mãn $p\mid q^r+1$ khi đó thì $2r\mid p-1$ hoặc $p \mid q^2-1$.
Chứng minh :
Từ giả thiết ta có $q^{2r}\equiv 1\;(mod\;p)\Rightarrow ord_p(q)\mid 2r\Rightarrow ord_p(q)\in \left \{ 1,2,r,2r \right \}$
Mà theo định lí $Fermat$ nhỏ thì $q^{p-1}\equiv 1\;(mod\;p)\Rightarrow ord_p(q)\mid p-1$
Nếu $ord_p(q)=1$ thì $q-1\equiv 0\;(mod\;p)\Rightarrow p\mid q^2-1$
Nếu $ord_p(q)=2$ thì $q^2\equiv 1\;(mod\;p)\Rightarrow p\mid q^2-1$
Nếu $ord_p(q)=r$ thì $r\mid p-1$ mà $p-1$ chẵn và $gcd(2,r)=1$ nên $2r\mid p-1$
Nếu $ord_p(q)=2r$ thì $2r \mid p-1$
Tóm lại bổ đề được chứng minh
BÀI TOÁN :
Từ đề bài ta suy ra $q \mid p^q+1$ và $p \mid q^p+1$.
Nếu $p=2$ thì ta có $q\mid 2^{q}+1$ hay $2^{q}\equiv -1\;(mod\;q)$. Theo định lí $Fermat$ nhỏ thì $2^{q}\equiv 2\;(mod\;q)$
Suy ra $-1\equiv 2\;(mod\;q)\Rightarrow q=3$.
Tương tự nếu $q=2$ thì $p=3$
Bây giờ, ta xét các số nguyên tố $p,q$ đều lẻ.
Khi đó vì $q\mid p^{q}+1$ nên theo bổ đề trên thì ta có $2q \mid q-1$ hoặc $q\mid p^2-1$.
Rõ ràng trường hợp $2q \mid q-1$ không xảy ra do đó phải có $q \mid p^2-1$.
Suy ra $q\mid (p-1)$ hoặc $q\mid (p+1)$.
Nếu như $q\mid p-1\Rightarrow p^{q}+1\equiv 2\;(mod\;q)$, mâu thuẫn.
Do vậy $q\mid p+1\Rightarrow 2q \mid p+1$ (vì $p+1$ chẵn và $gcd(2,q)=1$)
Suy ra $p+1\geq 2p$. Tương tự $q+1\geq 2p$.
Từ đó $p+q+2\geq 2(p+q)\Leftrightarrow p+q\leq 1$ và đây là điều vô lí
Kết luận : $\boxed{(p,q)=(2,3),(3,2)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-12-2013 - 13:33