Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Bài tập về trị riêng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 26-12-2013 - 08:12

cho A là ma trận khả nghịch cấp 3, có 1 trị riêng là 2.

chứng minh rằng ma trận A^-1 có 1 trị riêng là 1/2



#2 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 26-12-2013 - 10:03

Tổng quát:Với trị riêng $lamda$ (khác 0) ta luôn có tính chất trên.

                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#3 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 26-12-2013 - 10:58

hic, bài này đơn giản mà ráng suy nghĩ chút là ra thôi bạn. Mình chứng minh cho trường hợp tổng quát nhé.

 

Giả sử $A$ là ma trân vuông khả nghịch cấp n, và có một trị riêng là $\lambda \neq 0$ thì ma trận $A^{-1}$ có một giá trị riêng là $\lambda^{-1}$

 

Nếu gọi $T$ là ánh xạ tuyến tính từ $\mathbb{F}^{n}\to \mathbb{F}^n$ với $\mathbb{F}$ là một trường số nào đó. Nếu A là ma trận biểu diễn $T$ trong một cơ sở nào đó, thì điều đó có nghĩa là $T$ khả nghịch, và $T$ có một trị riêng là $\lambda$.

 

Rõ ràng, $A^{-1}$ là ma trận biểu diễn của $T^{-1}$ trong cùng cơ sở.  Để chứng minh rằng $A^{-1}$ có trị riêng là $\lambda^{-1}$, ta chỉ cần chứng mình $T^{-1}$ có một trị riêng là $\lambda^{-1}$. 

 

Theo giả thuyết, tồn tại một vector $u\neq 0$ sao cho $T(u)=\lambda u$, suy ra $T^{-1}(T(u))=T^{-1}(\lambda u) \Rightarrow u=T^{-1}(\lambda u)$ 

Đặt $v=\lambda u$, suy ra $u=\lambda^{-1}v$, và $\lambda^{-1}v=T^{-1}(v)$. 

Điều đó chứng tỏ $\lambda^{-1}$ là một trị riêng của $T^{-1}$, hay là của $A^{-1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-12-2013 - 14:00

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#4 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 26-12-2013 - 12:07

$$0=\det\left ( A-\lambda I_n \right )=\det\left ( -\lambda A \right )\det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I_n \right )$$

 

$$\Leftrightarrow \det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda} I_n \right )=0$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#5 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 26-12-2013 - 14:00

$$0=\det\left ( A-\lambda I_n \right )=\det\left ( -\lambda A \right )\det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I_n \right )$$

 

$$\Leftrightarrow \det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda} I_n \right )=0$$

 

Cách giải này hay gọn thiệt, mà có một chỗ mình thắc mắc. Để có được dòng cuối cùng thì bắt buộc $detA \neq 0$, mà điều này thì ko phải lúc nào cũng đúng!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-12-2013 - 14:01

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#6 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 26-12-2013 - 14:16

Cách giải này hay gọn thiệt, mà có một chỗ mình thắc mắc. Để có được dòng cuối cùng thì bắt buộc $detA \neq 0$, mà điều này thì ko phải lúc nào cũng đúng!

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$

 

Bạn nên nhớ: 

 

$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$ 


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#7 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 26-12-2013 - 14:26

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$
 
Bạn nên nhớ: 
 
$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$


À, mình quên mất cái đó :)
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#8 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 26-12-2013 - 16:00

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$

 

Bạn nên nhớ: 

 

$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$ 

Tương đương 2 chiều luôn hả a? Hình như chỉ có một chiều.


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#9 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 26-12-2013 - 20:45

Tương đương 2 chiều luôn hả a? Hình như chỉ có một chiều.

2 chiều bạn à.


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#10 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 27-12-2013 - 05:25

Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#11 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 27-12-2013 - 22:19

Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.


Ít nhất 1 giá trị riêng bằng 0 :))

                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh