Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thì $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 26-12-2013 - 19:32
Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thì $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 26-12-2013 - 19:32
Theo nguyên lý Dirichle .Giả sử :$(a-1)(b-1)\geq 0= > 2abc\geq 2ac+2bc-2c= > a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+1+2ac+2bc-2c=(c-1)^2+(a^2+b^2)+2(ac+bc)\geq 2(ab+bc+ac)$
Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thì $a^2+b^2+c^2+2abc\geq 2(ab+bc+ac)$
thiếu đề rồi a=b=0,c=1 thì sai
Chuyên Vĩnh Phúc
Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thì $a^2+b^2+c^2+2abc\geq 2(ab+bc+ac)$
đề đúng có thể là $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2\sum ab$
Nếu thế thì
Trong 3 số $1-a,1-b,1-c$ tồn tại 2 số cung dấu (0 cũng được gọi là cùng số với mọi số)
Gỉa sử 1-b,1-c cùng dấu
Ta có $\sum a^{2}+2abc-2\sum ab=(a-1)^{2}+(b-c)^{2}+2a(1-b)(1-c)\geq 0$
dấu = khi a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 26-12-2013 - 19:29
Chuyên Vĩnh Phúc
thiếu đề rồi a=b=0,c=1 thì sai
$a,b,c$ là các số thực dương thì $a,b,c\neq 0$ mà
Giả sử c = min{a,b,c}
Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqq c$
Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqq 0$
$\Rightarrow f(a,b,c)\geqq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$
Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm
Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqq 0$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh