Chủ đề này có 6 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a>c,b>c,c>0$. Chứng minh rằng : $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

P/s: Làm 2 cách nhá m.n

• Cách giải biến đổi tương đương
• Dùng BĐT AM-GM, Bunhiacopxiky, Mincopxki,......    

[phuocdinh1999]

Đặt $\frac{c}{a}=x;\frac{c}{b}=y(0<x;y<1)$

$BDT \Leftrightarrow \sqrt{\frac{c}{b}(1-\frac{c}{a})}+\sqrt{\frac{c}{a}(1-\frac{c}{b})}\leq 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{y(1-x)}+\sqrt{x(1-y)}\leq 1$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$\sqrt{y(1-x)} \leq \frac{y+1-x}{2}$

$\sqrt{x(1-y)} \leq \frac{x+1-y}{2}$

Cộng theo vế ta có đpcm

 

 

 

[phamquanglam]

C1: Vì a>c. b>c, c>0 $\Rightarrow$ (a-c),(b-c)>0

 Đặt x=a-c>0

       y=b-c>0

$\Rightarrow$ BĐT trở thành: $\sqrt{(x+c)(y+c)}\geq \sqrt{xc}+\sqrt{yc}$

 Bình phương: (x+c)(y+c)$\geq$xc+yc+2c$\sqrt{xy}$

                    $\Leftrightarrow$ $c^{2}+xc+yc+xy\geq xc+yc+2c\sqrt{xy}$

                    $\Leftrightarrow$ $c^{2}+xy\geq 2c\sqrt{xy}$

 Bất đẳng thức trên luôn đúng với c,x,y>0

 Thật vậy: Áp dụng AM-GM: $c^{2}+xy\geq 2c\sqrt{xy}$ (đpcm)

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=2c

 thanks!!!!!!!!!!!1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 26-12-2013 - 21:17

[buiminhhieu]

C1: Vì a>c. b>c, c>0 $\Rightarrow$ (a-c),(b-c)>0

 Đặt x=a-c>0

       y=b-c>0

$\Rightarrow$ BĐT trở thành: $\sqrt{(x+c)(y+c)}\geq \sqrt{xc}+\sqrt{yc}$

 Bình phương: (x+c)(y+c)$\geq$xc+yc+2c$\sqrt{xy}$

                    $\Leftrightarrow$ $c^{2}+xc+yc+xy\geq xc+yc+2c\sqrt{xy}$

                    $\Leftrightarrow$ $c^{2}+xy\geq 2c\sqrt{xy}$

 Bất đẳng thức trên luôn đúng với c,x,y>0

 Thật vậy: Áp dụng AM-GM: $c^{2}+xy\geq 2c\sqrt{xy}$ (đpcm)

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=2 và c=1

dấu = là a=b=2c chứ bạn nhỉ

[vipboycodon]

$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$

BĐT  <=> $\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le 1$

Áp dụng bdt cô-si ta có :

$\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}} \le \dfrac{c+a-c}{a+b} \le \dfrac{a}{a+b}$

$\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le \dfrac{c+b-c}{a+b} \le \dfrac{b}{a+b}$

Cộng vế với vế ta có:

$\sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \le \dfrac{a+b}{a+b} \le 1$

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} c = a-c \\ a = b \\ c = b-c \end{cases}$ <=> $a = b = 2c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 27-12-2013 - 11:06

[pham thuan thanh]

 

Cho $a>c,b>c,c>0$. Chứng minh rằng : $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

P/s: Làm 2 cách nhá m.n

• Cách giải biến đổi tương đương
• 
  
• Dùng BĐT AM-GM, Bunhiacopxiky, Mincopxki,......    
• 
  

 

vẽ tam giác ABC. kẻ AH vuông góc với BC. có  AB=$\sqrt{a}$ ,AH=$\sqrt{c}$ AC=$\sqrt{b}$ suy ra BH=$\sqrt{a-c}$, HC=$\sqrt{b-c}$. ta có VT của bđt=2[S$\bigtriangleup$ABH+S$\bigtriangleup$AHC]=2.S$\bigtriangleup$ABC=$\sqrt{a}.\sqrt{b}$.sinA $\leq \sqrt{ab}$ . suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pham thuan thanh: 28-12-2013 - 23:31

[KietLW9]

 

Cho $a>c,b>c,c>0$. Chứng minh rằng : $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

P/s: Làm 2 cách nhá m.n

• Cách giải biến đổi tương đương
• Dùng BĐT AM-GM, Bunhiacopxiky, Mincopxki,......    

 

Bình phương hai vế, ta được: $(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)})^2\leqslant (\sqrt{ab})^2\Leftrightarrow c(a-c)+c(b-c)+2\sqrt{c(a-c)}.\sqrt{c(b-c)}\leqslant ab\Leftrightarrow c^2+(a-c)(b-c)-2c\sqrt{(a-c)(b-c)}\geqslant 0\Leftrightarrow [c-\sqrt{(a-c)(b-c)}]^2\geqslant 0$*đúng*