Tính $$L=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k}$$
#1
Đã gửi 26-12-2013 - 21:18
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
- bangbang1412 yêu thích
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#2
Đã gửi 27-12-2013 - 00:14
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
Có ai có cách tính tích phân này không: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k}=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^x}\: dx$$
Còn đây là bài chứng minh cái trên là đúng:
$$x^{-x}=e^{-x\ln x}=\sum_{k=0}^{n}\frac{\left ( -x\ln x \right )^n}{n!}$$
Đến đây, ta cần quan tâm:
$$I_{k}=\int_{0}^{1}\frac{\left ( -x\ln x \right )^k}{k!}\: dx$$
Đặt $y=-\ln x\to x=e^{-y}\to dx=-e^{-y}dy$
$$\to I_k=\int_{0}^{+\infty} \frac{y^k\: e^{-(k+1)y}}{k!}dy$$
Đặt $(k+1)y=z\to dy=\frac{1}{k+1}dz$
$$\to I_k=\int_{0}^{+\infty}\frac{z^ke^{-z}}{(k+1)^{k+1}\: k!}\: dz=\frac{1}{k!(k+1)^{k+1}}\int_{0}^{+\infty} z^ke^{-z}dz$$
Đặt $$I'_k=\int_{0}^{+\infty} z^ke^{-z}dz=\int_{0}^{+\infty} z^kd\left ( -e^{-z} \right )=k\int_{0}^{+\infty}z^{k-1}e^{-z}dz=kI'_{k-1}=\cdots=k!$$
Mà $$I_k=\frac{1}{k!(k+1)^{k+1}}I'_{k}=\frac{1}{(k+1)^{k+1}}\: \fbox{đpcm}$$
Vậy $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k}=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^x}dx$$
- bangbang1412 yêu thích
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#3
Đã gửi 28-12-2013 - 09:05
KoBietDatTenSaoChoHot
-
- Thành viên
-
- 143 Bài viết
Trung sĩ
Tích phân đó hình như tính ko ra được đâu.
- bangbang1412 yêu thích
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: determine value
|
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\sum_{k=1}^{\infty}arc\tan\left ( \frac{2}{k^2} \right )$Bắt đầu bởi Mrnhan, 05-12-2013  determine value
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
