6 replies to this topic

[nguyenxuanthai]

Cho $( X ; *) $ và $ ( Y ; . ) $ là các nhóm, ánh xạ:
$ f: X \to Y $ thỏa mãn $ f(x*y) = f(x) . f(y)$
Gọi G là nhóm con của Y. Hỏi $ f^{-1} (G)$ có là nhóm com của X không? Tại sao?

Edited by nguyenxuanthai, 27-12-2013 - 21:39.

[nguyenxuanthai]

Xin lỗi mọi người là $ f^{-1} (G) $

[fghost]

$$f(1)=f(1*1)=f(1).f(1) \Rightarrow f(1)=1$$

Như vậy, $1 \in f^{-1}(G)$. Tương tự, ta dễ thấy $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$. Để thấy $f^{-1}(G)$ là nhóm con, ta nhận xét

$$x,y \in f^{-1}(G), f(x), f(y) \in G \Rightarrow f(x*y)=f(x).f(y) \in G \Rightarrow x*y \in f^{-1}(G)$$

Tương tự,

$$f(x*y^{-1})=f(x).f(y^{-1})=f(x).(f(y))^{-1} \in G \Rightarrow x*y^{-1} \in f^{-1}(G)$$

Vì vậy, $f^{-1}(G)$ là nhóm con.

[nguyenxuanthai]

Hình như anh sử dung " đồng cấu nhóm " phải không ạ?

Nhưng bọn em chưa học đồng cấu nhóm thì phải chứng minh bài này như thế nào ạ?

[fghost]

Hình như anh sử dung " đồng cấu nhóm " phải không ạ?

Nhưng bọn em chưa học đồng cấu nhóm thì phải chứng minh bài này như thế nào ạ?

 

Mình không có sử dụng đồng cấu nhóm. Có lẽ bạn nói đến phần chứng minh $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$? Sau khi ta có $f(1)=1$, thì

$$1=f(1)=f(x*x^{-1})=f(x).f(x^{-1}) \Rightarrow f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$$

Vì phần tử nghịch đảo của $f(x)$ duy nhất và vừa là $(f(x))^{-1}$ và $f(x^{-1})$, cho nên ta có thể kết luận như trên.

[nguyenxuanthai]

Anh ơi, cho em hỏi cái dòng đầu tiên của bài giải của anh đó ạ. Tất cả những số 1 đó là phần tử đơn vị hay có số 1 là phần tử thuộc X thôi ạ?

 

Em vẫn chưa hiểu dòng : $ f(1) = f(1*1) = f(1).f(1) \Rightarrow f(1)=1 $ lắm. Mong anh giải thích giúp ạ .

Edited by nguyenxuanthai, 31-12-2013 - 21:15.

[fghost]

Gọi $1_X$ là phần tử đơn vị (phần tử trung hòa) của $X$, $1_Y$ là phần tử đơn vị (trung hòa) của $Y$. Hiển nhiên, $1_Y \in G$. Ta có

$$f(1_X)=f(1_X*1_X)=f(1_X).f(1_X)$$

Sau đó, nhân 2 vế với phần tử nghịch đảo của $f(1_X)$,ta được $1_Y=f(1_X)$. Đa phần trong các bài giải, thì $1$ được hiểu như là phân từ đơn vị của nhóm mà ngữ cảnh chỉ ra, nên sẽ không ghi $1_X$ hay $1_Y$.

Edited by fghost, 01-01-2014 - 00:57.