Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

CMR: Hệ $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}$ ĐLTT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 28-12-2013 - 10:13

Giả sử C[a,b] là tập các hàm số liên tục trên [a,b], biết rằng C[a,b] là 1 không gian vecto

chứng minh hệ số hàm số $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}$ độc lập tuyến tính trong C[a,b]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-01-2014 - 12:18


#2 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 28-12-2013 - 12:53

Để ý rằng $e^x$ luôn dương với $x\in \mathbb{R}$



#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 558 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2013 - 19:48

Để ý rằng $e^x$ luôn dương với $x\in \mathbb{R}$

Bài toán trên khá dễ, nhưng theo mình ý này có vẻ chưa giải quyết được vấn đề. Thế ví dụ hàm -e^x thì sao. 



#4 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 28-12-2013 - 20:45

Bài toán trên khá dễ, nhưng theo mình ý này có vẻ chưa giải quyết được vấn đề. Thế ví dụ hàm -e^x thì sao. 

nxb cho tớ cách khác với



#5 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 28-12-2013 - 20:49

À, xin lỗi bạn, mình bất cẩn quá
Giả sử tồn tại $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho $\alpha e^x + \beta e^{2x} +\gamma e^{3x}=0$

$\iff \frac{\alpha}{e^x}  + \beta +\gamma e^{x}=0$

lúc này có thể thấy phương trình không có nghiệm với $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$



#6 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 29-12-2013 - 08:14

À, xin lỗi bạn, mình bất cẩn quá
Giả sử tồn tại $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho $\alpha e^x + \beta e^{2x} +\gamma e^{3x}=0$

$\iff \frac{\alpha}{e^x}  + \beta +\gamma e^{x}=0$

lúc này có thể thấy phương trình không có nghiệm với $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$

có vẻ k thuyết phục bạn ạ

làm sao kết luận đc k có nghiệm như vậy chứ?



#7 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 29-12-2013 - 09:36

Hz, mình đag kiếm cách ngắn hơn cách sử dụng định thức
Nếu sử dụng định thức:

Thực hiện đạo hàm 2 vế 2 lần, ta được:

$Tv=\begin{bmatrix}e^x &e^{2x}  &e^{3x} \\ e^x &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ e^x &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}=0$
Xét $\det=\begin{vmatrix}e^x &e^{2x}  &e^{3x} \\ e^x &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ e^x &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^x\begin{vmatrix}1 &e^{2x}  &e^{3x} \\ 1 &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ 1 &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^{3x}\begin{vmatrix}1 &1  &e^{3x} \\ 1 &2  &3e^{3x} \\ 1 &4  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^{6x}\begin{vmatrix}1 &1  &1 \\ 1 & 2 &3 \\ 1 & 4 &9 \end{vmatrix}=2e^{6x}>0$
Suy ra T khả nghịch, vậy Tv=0 $\iff v=0 \iff \alpha=\beta=\gamma =0$ 

 

 



#8 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 29-12-2013 - 13:48

Nếu mà ko muốn dùng determinant thì làm như thế này:

 

Giả sử $ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0$ (1) $ \Rightarrow e^x(a+be^x+ce^{2x})=0$

vì $e^x \neq 0$, nên ta có $a+be^x+ce^{2x}=0$. Đạo hàm hai vế ta được: $be^x+2ce^{2x}=0$. Do đó $e^x(b+2ce^{2x})=0$.

Lại do $e^x \neq 0$ nên ta có $b+2ce^{2x}=0$. Tiếp tục đạo hàm ta được $4ce^{2x}=0 \Rightarrow c=0$.

 

Do đó (1) trở thành $ae^x+be^{2x}=0$. Lập lại quá trình như trên ta có a=b=c=0. Suy ra, họ trên độc lập tuyến tính.


Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#9 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 29-12-2013 - 14:46

Nếu mà ko muốn dùng determinant thì làm như thế này:

 

Giả sử $ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0$ (1) $ \Rightarrow e^x(a+be^x+ce^{2x})=0$

vì $e^x \neq 0$, nên ta có $a+be^x+ce^{2x}=0$. Đạo hàm hai vế ta được: $be^x+2ce^{2x}=0$. Do đó $e^x(b+2ce^{2x})=0$.

Lại do $e^x \neq 0$ nên ta có $b+2ce^{2x}=0$. Tiếp tục đạo hàm ta được $4ce^{2x}=0 \Rightarrow c=0$.

 

Do đó (1) trở thành $ae^x+be^{2x}=0$. Lập lại quá trình như trên ta có a=b=c=0. Suy ra, họ trên độc lập tuyến tính.

cách này hay và dễ hiểu hơn

xem hộ t bài ma trận nghịch đảo với


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi waiwjnkti3n: 29-12-2013 - 14:50


#10 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 29-12-2013 - 14:49

cách này hay và dễ hiểu hơn

Nhưng cách của funcalys là tổng quát và có thể dùng cho nhiều loại hàm số khác nhau. Tham khảo thêm nè http://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian


  • Nxb yêu thích
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh