Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: Hệ $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}$ ĐLTT

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Giả sử C[a,b] là tập các hàm số liên tục trên [a,b], biết rằng C[a,b] là 1 không gian vecto

chứng minh hệ số hàm số $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}$ độc lập tuyến tính trong C[a,b]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-01-2014 - 12:18


#2
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Để ý rằng $e^x$ luôn dương với $x\in \mathbb{R}$



#3
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Để ý rằng $e^x$ luôn dương với $x\in \mathbb{R}$

Bài toán trên khá dễ, nhưng theo mình ý này có vẻ chưa giải quyết được vấn đề. Thế ví dụ hàm -e^x thì sao. 



#4
waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Bài toán trên khá dễ, nhưng theo mình ý này có vẻ chưa giải quyết được vấn đề. Thế ví dụ hàm -e^x thì sao. 

nxb cho tớ cách khác với



#5
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

À, xin lỗi bạn, mình bất cẩn quá
Giả sử tồn tại $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho $\alpha e^x + \beta e^{2x} +\gamma e^{3x}=0$

$\iff \frac{\alpha}{e^x}  + \beta +\gamma e^{x}=0$

lúc này có thể thấy phương trình không có nghiệm với $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$



#6
waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

À, xin lỗi bạn, mình bất cẩn quá
Giả sử tồn tại $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho $\alpha e^x + \beta e^{2x} +\gamma e^{3x}=0$

$\iff \frac{\alpha}{e^x}  + \beta +\gamma e^{x}=0$

lúc này có thể thấy phương trình không có nghiệm với $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$

có vẻ k thuyết phục bạn ạ

làm sao kết luận đc k có nghiệm như vậy chứ?



#7
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Hz, mình đag kiếm cách ngắn hơn cách sử dụng định thức
Nếu sử dụng định thức:

Thực hiện đạo hàm 2 vế 2 lần, ta được:

$Tv=\begin{bmatrix}e^x &e^{2x}  &e^{3x} \\ e^x &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ e^x &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}=0$
Xét $\det=\begin{vmatrix}e^x &e^{2x}  &e^{3x} \\ e^x &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ e^x &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^x\begin{vmatrix}1 &e^{2x}  &e^{3x} \\ 1 &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ 1 &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^{3x}\begin{vmatrix}1 &1  &e^{3x} \\ 1 &2  &3e^{3x} \\ 1 &4  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^{6x}\begin{vmatrix}1 &1  &1 \\ 1 & 2 &3 \\ 1 & 4 &9 \end{vmatrix}=2e^{6x}>0$
Suy ra T khả nghịch, vậy Tv=0 $\iff v=0 \iff \alpha=\beta=\gamma =0$ 

 

 



#8
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Nếu mà ko muốn dùng determinant thì làm như thế này:

 

Giả sử $ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0$ (1) $ \Rightarrow e^x(a+be^x+ce^{2x})=0$

vì $e^x \neq 0$, nên ta có $a+be^x+ce^{2x}=0$. Đạo hàm hai vế ta được: $be^x+2ce^{2x}=0$. Do đó $e^x(b+2ce^{2x})=0$.

Lại do $e^x \neq 0$ nên ta có $b+2ce^{2x}=0$. Tiếp tục đạo hàm ta được $4ce^{2x}=0 \Rightarrow c=0$.

 

Do đó (1) trở thành $ae^x+be^{2x}=0$. Lập lại quá trình như trên ta có a=b=c=0. Suy ra, họ trên độc lập tuyến tính.


Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#9
waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Nếu mà ko muốn dùng determinant thì làm như thế này:

 

Giả sử $ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0$ (1) $ \Rightarrow e^x(a+be^x+ce^{2x})=0$

vì $e^x \neq 0$, nên ta có $a+be^x+ce^{2x}=0$. Đạo hàm hai vế ta được: $be^x+2ce^{2x}=0$. Do đó $e^x(b+2ce^{2x})=0$.

Lại do $e^x \neq 0$ nên ta có $b+2ce^{2x}=0$. Tiếp tục đạo hàm ta được $4ce^{2x}=0 \Rightarrow c=0$.

 

Do đó (1) trở thành $ae^x+be^{2x}=0$. Lập lại quá trình như trên ta có a=b=c=0. Suy ra, họ trên độc lập tuyến tính.

cách này hay và dễ hiểu hơn

xem hộ t bài ma trận nghịch đảo với


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi waiwjnkti3n: 29-12-2013 - 14:50


#10
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

cách này hay và dễ hiểu hơn

Nhưng cách của funcalys là tổng quát và có thể dùng cho nhiều loại hàm số khác nhau. Tham khảo thêm nè http://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian


  • Nxb yêu thích
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh