Chủ đề này có 1 trả lời

[Trần Đức Anh @@]

Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thảo mãn: $f(x^2+y+f(y))=2y+(f(x))^2$, $\forall$ $x$,$y\in\mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 29-12-2013 - 19:32

[Idie9xx]

Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thảo mãn: $f(x^2+y+f(y))=2y+(f(x))^2$, $\forall$ $x$,$y\in\mathbb{R}$

Cách làm hơi trâu bò

Với $P(x,y)$ có tính chất $f(x^2+y+f(y))=2y+(f(x))^2$, cho $f(0)=k$

$P(0,x)\Rightarrow f(x+f(x))=2x+k^2\Rightarrow f$ toàn ánh $(1)$.

Nên tồn tại $a$ để $f(a)=0$

$P(0,a)\Rightarrow f(a+f(a))=2a+k^2\Rightarrow a=-\dfrac{k^2}{2}$

Và cũng chứng minh được $f(x)=0\Leftrightarrow x=a$

$P(-x,y)\Rightarrow f(x^2+y+f(y))=2y+(f(-x))^2\Rightarrow (f(-x))^2=(f(x))^2$

$\Rightarrow (f(\dfrac{k^2}{2}))^2=(f(-\dfrac{k^2}{2}))^2=0\Rightarrow f(\dfrac{k^2}{2})=0$

$\Rightarrow \dfrac{k^2}{2}=-\dfrac{k^2}{2}\Rightarrow k=0\Rightarrow f(0)=0$

$P(x,0)\Rightarrow f(x^2)=(f(x))^2,(*)\Rightarrow f(x^2+y+f(y))=2y+f(x^2)$

Nên $x>0\Rightarrow f(x)>0,(2)$

Giả sử tồn tại hai số $u,v$ dương mà $f(u)=f(v)$

$P(\sqrt{u},v)\Rightarrow f(u+v+f(v))=2v+f(u)$

$P(\sqrt{u},v)\Rightarrow f(u+v+f(u))=2u+f(v)$

$\Rightarrow u=v,(3)$

$P(0,x)\Rightarrow f(x+f(x))=2x$

$P(0,-x)\Rightarrow f(-x+f(-x))=-2x$

$\Rightarrow (f(-x+f(-x)))^2=(f(x+f(x)))^2$

$\Rightarrow f((f(-x)-x)^2)=f((x+f(x))^2)$

$\Rightarrow (f(-x)-x)^2=(f(x)+x)^2$

$\Rightarrow (f(-x))^2-2xf(-x)+x^2=(f(x))^2+2xf(x)+x^2$

$\Rightarrow f(x)=-f(-x),(4)$

Từ $(1),(2),(3),(4)\Rightarrow f$ song ánh.

$P(0,t)\Rightarrow f(t+f(t))=2t$

$\Rightarrow t+f(t)$ toàn ánh.

Cho $y=t+f(t)$

$P(\sqrt{x},t)\Rightarrow f(x+t+f(t))=2t+f(x)$

$\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y),(**)$

Từ $(*),(**),(4)\Rightarrow \boxed{f(x)=x},\forall x\in \mathbb{R}$