CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỔ BIẾN
Ví dụ 1: Giải phương trình:
$x^{2}-3x+1+\sqrt{2x-1}=0$
Cách 1: Khi nhìn vào các phương trình loại này thì nhiều bạn dùng phương pháp bình phương
pt<=> $\sqrt{2x-1}=-(x^{2}-3x+1)$
<=>$\left\{\begin{matrix} x^{2}-3x+1\leq 0 (1)\\ (x^{2}-3x+1)^{2}=2x-1) (2) \end{matrix}\right.$
Giải phương trình (2) như sau: (2)<=>$(x-1)^{2}(x^{2}-4x+2)=0<=> x=1,x=2+\sqrt{2},x=2-\sqrt{2}$
Kết hợp với (1) được $x=1,x=2-\sqrt{2}$
Nhận xét: Với phương pháp này các bạn chỉ có thể làm dễ dàng khi tìm ra nghiệm của phương trình. trong một số phương trình không có ngiệm nguyên dương thì sau khi bình phương chúng ta phải dùng hệ số xác định. chẳng hạn như đặt $x^{4}-3x^{3}+10x^{2}-6x+2=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)=0$. chúng ta phải tìm các hệ số a,b,c,d sau đó giải từng phương trình bậc hai.
Cách 2: Quan sát ta thấy
PT<=>$x^{2}-(2x-1)+\sqrt{2x-1}-x=0<=>(x-\sqrt{2x-1})(x+\sqrt{2x+1}-1)=0$
Tới đây thì ta giải từng phương trình.
Cách 3: Ngoài ra ta còn có thể giải phương trình bằng cách sau:
$PT<=>x^{2}-x+\frac{1}{4}=(2x-1)-\sqrt{2x-1}+\frac{1}{4}$
$<=> (x-\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{2x-1}-\frac{1}{2})^{2}$
$<=> (x-\sqrt{2x-1})(x+\sqrt{2x-1}-1)=0$
Sau đó giải bình thường
Ví dụ 2:(đề thi olympic truyền thống 30-4)Giải phương trình :
$3x^{2}-10x+12-4(x+1)\sqrt{x-3}=0$ (*)
Ở bài này chúng ta cũng có thể bình phương nhưng rất mất thời gian. vì vậy bây giờ ta sẽ tìm các cách giải ngắn ngọn và hay
Cách 1: Định hướng lời giải: chúng ta sẽ nhóm bình phương bằng bình phương ( đây là 1 phương pháp khá hay dùng trog các cuộc thi HSG)
$PT<=>3x^{2}-10x+12=4(x+1)\sqrt{x-3}$
$<=>4x^{2}-4x+1=(x+1)^{2}+4(x+1)\sqrt{x-3}+4(x-3)$
$<=> (2x-1)^{2}=(x+1+2\sqrt{x-3})^{2}$$<=>2x-1=x+1+2\sqrt{x-3}$
$<=>x-2-2\sqrt{x-3}=0<=>(\sqrt{x-3}-1)^{2}=0<=> x=4$
Cách 2: Dùng bất đẳng thức => dấu bằng xảy ra => tìm được x.
Dựa vào phương trình ta nhẩm được nghiệm x=4 nên sử dụng điểm rơi của AM-GM
Lời giải.đk:$x\geq 3$
Theo bất đa73ng thức AM-GM ta có:$\sqrt{x-3}\leq \frac{x-3+1}{2}=\frac{x-2}{2}$
Do $x\geq 3$ nên x+1>0 =>$4(x+1)\sqrt{x-3}\leq 2(x-2)(x+1)$
(*) => $3x^{2}-10x+12\leq 2(x-2)(x+1)=> (x-4)^{2}\leq 0=> x=4$
Thử lại ta thấy x=4 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3: $\sqrt{x}+\sqrt{32-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}-\frac{1}{16}x^{2}+2x=28$
Định hướng; chúng ta sẽ dùng bđt :
Lời giải:
PT<=>$\sqrt{x}+\sqrt{32-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}=\frac{1}{16}x^{2}-2x+28$ (1)
Bạn đọc tự cm các bất đẳng thức sau$\sqrt{x}+\sqrt{32-x}\leq 8$ và $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}\leq 4$
và $\frac{1}{16}x^{2}-2x+28=(\frac{1}{4}x-4)^{2}+12\geq 12$
=> VT(1)$\leq 12$ và VT(1)$\geq 12$
Vậy dấu bằng xảy ra khi x=16
Ví dụ 4:Giải phương trình:$\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$
Lời giải: đk:$\frac{-1}{3}\leq x\leq 6$
$PT<=>\sqrt{3x+1}-4-\sqrt{6-x}+1+3x^{2}-14x-5=0$
$<=>(x-5)[\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1]=0$
Mà $\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\geq 0$
Nên x=5
NĂM MỚI TỚI RỒI CHÚC MỌI NGƯỜI MỘT NĂM THÀNH CÔNG VỚI NHIỀU NIỀM VUI.
