Chủ đề này có 13 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ba}}$ $\geq \frac{3}{2}$

[Kaito Kuroba]

có nhiều cấch gaiir như áp dụng cauchy-schwarz, dùng Bunhia, dùng holder. nhứng cách chứng minh ngắc gọn nhất là dùng holder.

theo holder ta có:

$\sum \left (\frac{a}{\sqrt{a^2+3bc}} \right )^2.\left [ a\left ( a^2+3bc \right ) \right ]\geq \left (\sum a \right )^{3}=\left ( a+b+c \right )^3$

đên đây rồi thì dễ dàng rồi nhé, chỉ cần chứng minh:

$(a+b+c)^{3}\geq \frac{3}{2}\left [ \sum a(a^2+3bc) \right ]$ chỉ cần khai triển rồi chuyển vế là bất đẳng thức này được chứng minh

"=" <=> a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 02-01-2014 - 12:39

[pham thuan thanh]

Cho a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ba}}$ $\geq \frac{3}{2}$

dùng bdt holder

[Hoang Tung 126]

dùng bdt holder

Tôi đố bạn dùng được Holer đấy bđt này khá chặt

[pham thuan thanh]

Tôi đố bạn dùng được Holer đấy bđt này khá chặt

bạn ơi. holder chính là cách mà kaito làm .

[Hoang Tung 126]

bạn ơi. holder chính là cách mà kaito làm .

Thật không bạn thành sinh .Bạn thử làm lại đi

[Kaito Kuroba]

dung holder duoc chứ sao không!!!

neu khong tin ban hay xem lai

[Ngoc Hung]

Đây là chương trình thcs mà. BĐT holde là chương trình THPT

[Ngoc Hung]

Nhờ các bạn giải giùm với kiên thức bậc THCS. Xin cảm ơn

[pham thuan thanh]

Nhờ các bạn giải giùm với kiên thức bậc THCS. Xin cảm ơn

dùng bunhia.... cũng đc đó bạn

[Hoang Tung 126]

dùng bunhia.... cũng đc đó bạn

Nhưng sao mình dùng Bunhial lại không được hả bạn

[Kaito Kuroba]

không dung holder thì dùng schwartz:

đừng có nói với mình là bạn chưa học schwartz nha!!!!!!!!!!!!!!!!!

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+3bc}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{a^2+3bc}}$

 

đến đây rồi thì bây giờ  trên chỉ cần chứng minh;

$(a+b+c)^2\geq \frac{3}{2}\left ( \sum a\sqrt{a^2+3bc} \right )$

ta có: $\sum a\sqrt{a^2+3bc}\leq \sqrt{(a+b+c)\left [ \sum a\left ( a^2+3bc \right ) \right ]}$

mà như trên mình đã nói chỉ cần khai triển chuyển vế laCM được:

$(a+b+c)^{3}\geq \frac{3}{2}\left [ \sum a(a^2+3bc) \right ]$

từ đây suy ra: $(a+b+c)^2\geq \frac{3}{2}\left ( \sum a\sqrt{a^2+3bc} \right )$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

 

Nhưng sao mình dùng Bunhial lại không được hả bạn

bạn xemn lại nhé dung Bunhia hay Holder cũng được hết!!!!

[Ngoc Hung]

Bạn Kaito chứng minh BĐT cuối giùm. Mình biến đổi mà không được

[KietLW9]

Cho a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ba}}$ $\geq \frac{3}{2}$

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ba}}=\frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^{3}+3abc}}+\frac{b^2}{\sqrt{b}.\sqrt{b^{3}+3abc}}+\frac{c^2}{\sqrt{c}.\sqrt{c^{3}+3abc}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^{3}+3abc}+\sqrt{b}.\sqrt{b^{3}+3abc}+\sqrt{c}.\sqrt{c^{3}+3abc}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+9abc)}}$

Ta cần chứng minh: $\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+9abc)}}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+9abc}\geqslant \frac{9}{4}\Leftrightarrow 12[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\geqslant 5(a^3+b^3+c^3)+57abc$

Mà theo AM-GM, ta có: $6(a^3+b^3+c^3+9abc)\geqslant 5(a^3+b^3+c^3)+57abc$

Nên ta cần chứng minh: $2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\geqslant a^3+b^3+c^3+9abc\Leftrightarrow (3a-b-c)(b-c)^2+(b+c-a)(a-b)(a-c)$

Giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$ thì bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$