Đến nội dung

Hình ảnh

[VMO 2014] Ngày 1 - Bài 2 - ĐA THỨC

- - - - - vmo2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
phatthientai

phatthientai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

$\boxed{\text{Bài 2}}$

 

Cho đa thức $P(x)={{({{x}^{2}}-7x+6)}^{2n}}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-01-2014 - 21:20


#2
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

 

Bài 2.
Cho đa thức $P(x)={{({{x}^{2}}-7x+6)}^{2n}}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

 

Giả sử $P(x)$ biểu diễn được thành tích của $n+1$ đa thức khác hằng hệ số nguyên.

Do $deg P=4n$ và $P(x)$ vô nghiệm nên nếu phân tích được thành $n+1$ thì tất cả đều phải có $deg \geq 2$ và chẵn suy ra theo Dirichlet phải tồn tại $2$ nhân tử có bậc là $2$, giả sử là $G(x)$ và $H(x)$.

Cho $x=1$ và $x=6$ ta được $G(1).G(6)$ và $H(1).H(6)$ là ước của $13$

Theo tính chất quen thuộc thì ta sẽ có $G(6)-G(1)$, $H(6)-H(1)$ chia hết cho $5$ mà $G(1), G(6), H(1), H(6)$ chỉ nhận giá trị $-1, 1, 13, -13$ nên $G(6)=G(1), H(6)=H(1)$. Mà ta nhận thấy không thể có $|G(1)|=|G(6)|=|H(1)|=|H(6)|=13$ nên $|G(1)|=|G(6)|=1$ hoặc $|H(1)|=|H(6)|=1$

Giả sử là $|G(1)|=|G(6)|=1$. Nhận xét rằng $P(x)$ có hệ số cao nhất là $1$, do đó hệ số cao nhất của $G(x)$ là $1$. Suy ra $G(x)=(x-1)(x-6)\pm 1$ nhưng đa thức này có nghiệm thực suy ra vô lí. Vậy ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 04-01-2014 - 09:21

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#3
mbrandm

mbrandm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

mình cũng dùng tính khả quy và bất khả quy, nhưng lại quên khấy tính chất chỗ G(a)-G(b) chia hết cho a-b.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo2014

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh