$\boxed{\text{Bài 2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-01-2014 - 21:20
$\boxed{\text{Bài 2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-01-2014 - 21:20
Bài 2.Cho đa thức $P(x)={{({{x}^{2}}-7x+6)}^{2n}}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.
Giả sử $P(x)$ biểu diễn được thành tích của $n+1$ đa thức khác hằng hệ số nguyên.
Do $deg P=4n$ và $P(x)$ vô nghiệm nên nếu phân tích được thành $n+1$ thì tất cả đều phải có $deg \geq 2$ và chẵn suy ra theo Dirichlet phải tồn tại $2$ nhân tử có bậc là $2$, giả sử là $G(x)$ và $H(x)$.
Cho $x=1$ và $x=6$ ta được $G(1).G(6)$ và $H(1).H(6)$ là ước của $13$
Theo tính chất quen thuộc thì ta sẽ có $G(6)-G(1)$, $H(6)-H(1)$ chia hết cho $5$ mà $G(1), G(6), H(1), H(6)$ chỉ nhận giá trị $-1, 1, 13, -13$ nên $G(6)=G(1), H(6)=H(1)$. Mà ta nhận thấy không thể có $|G(1)|=|G(6)|=|H(1)|=|H(6)|=13$ nên $|G(1)|=|G(6)|=1$ hoặc $|H(1)|=|H(6)|=1$
Giả sử là $|G(1)|=|G(6)|=1$. Nhận xét rằng $P(x)$ có hệ số cao nhất là $1$, do đó hệ số cao nhất của $G(x)$ là $1$. Suy ra $G(x)=(x-1)(x-6)\pm 1$ nhưng đa thức này có nghiệm thực suy ra vô lí. Vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 04-01-2014 - 09:21
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
mình cũng dùng tính khả quy và bất khả quy, nhưng lại quên khấy tính chất chỗ G(a)-G(b) chia hết cho a-b.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các kỳ thi Olympic →
Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp. →
Đề thi ngày 1 Trường Đông Toán học Miền Nam 2014Bắt đầu bởi namcpnh, 27-11-2014 vmo2014 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
[VMO 2014] Ngày 2 - Bài 7 - Tổ hợpBắt đầu bởi Ispectorgadget, 04-01-2014 vmo2014 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
[VMO 2014] Ngày 2 - Bài 6 - Đại sốBắt đầu bởi Ispectorgadget, 04-01-2014 vmo2014 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
[VMO 2014] Ngày 2 - Bài 5 - Hình học phẳngBắt đầu bởi Ispectorgadget, 04-01-2014 vmo2014 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
[VMO 2014] Ngày 1 - BÀI 4 - HÌNH HỌC PHẲNGBắt đầu bởi phatthientai, 03-01-2014 vmo2014 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh