Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết

Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$

 



#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$

 

Dãy $\{x_n\}$ đơn điệu giảm và hội tụ về $0$.

\[\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_{n}^2}= \frac{x_n^2-\sin^2 x_n}{\sin^2x_n x_{n}^2}.\]

 

Vì $\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}=\frac{1}{3}$ nên $\lim \left(\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_{n}^2}\right)=\frac{1}{3}.$

 

Dùng Césaro, ta có $\lim \frac{1}{nx_n^2}=\frac{1}{3}$. Hơn nữa, vì $x_n>0\, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim \sqrt{n} x_n=\sqrt{3}.$


Đời người là một hành trình...


#3
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Bạn làm đúng rồi ạ. +10 điểm PSW.


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh