Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$
Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$
Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$
Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$
Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$
Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$
Dãy $\{x_n\}$ đơn điệu giảm và hội tụ về $0$.
\[\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_{n}^2}= \frac{x_n^2-\sin^2 x_n}{\sin^2x_n x_{n}^2}.\]
Vì $\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}=\frac{1}{3}$ nên $\lim \left(\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_{n}^2}\right)=\frac{1}{3}.$
Dùng Césaro, ta có $\lim \frac{1}{nx_n^2}=\frac{1}{3}$. Hơn nữa, vì $x_n>0\, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim \sqrt{n} x_n=\sqrt{3}.$
Đời người là một hành trình...
Bạn làm đúng rồi ạ. +10 điểm PSW.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh