Chủ đề này có 54 trả lời

[E. Galois]

Vào hồi 21h, Thứ Sáu, ngày 3/1/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

3) Danh sách thi đấu

 

 

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 

Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

BTC lưu ý: Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

 

 

 

[E. Galois]

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

 

Toán thủ ra đề 19kvh97

 

[E. Galois]

BQT lưu ý, BQT đã sửa lại đề. Mong các toán thủ chú ý. Thời gian làm bài tính lại từ 21h20

[25 minutes]

TXĐ : D=R

Nhận thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho nên ta chia cả $2$ vế của phương trình cho $x^3$ ta được 

          $2(4x^3+\frac{4}{x^3}-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}})=1-22x-\frac{22}{x}$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t\Rightarrow \left | t \right |\geqslant 2$

Và $4x^3+\frac{4}{x^3}=4(t^3-3t)$

PT đã cho trở thành $2\left [ 4(t^3-3t)-\sqrt[3]{6t+1} \right ]=1-22t$

                    $\Leftrightarrow 8t^3-2t-1=2\sqrt[3]{6t+1}$

Đặt $2t=a$, phương trình trở thành $a^3-a-1-\sqrt[3]{3a+1}=0,\left | a \right |\geqslant 4$

Xét $f(a)=a^3-a-1-\sqrt[3]{3a+1}$

TH1: $a \geqslant 4$

      $\Rightarrow f'(a)=3a^2-1-\frac{6}{\sqrt[3]{(3a+1)^2}}>3.4^2-1-7>0$

      $\Rightarrow f(a) \geqslant f(4)>0$

Vậy phuơng trình đã cho vô nghiệm

TH2: $a \leqslant -4$

     $\Rightarrow f'(a)=3a^2-1-\frac{6}{\sqrt[3]{(3a+1)^2}}>0$

     $\Rightarrow f(a) \leqslant f(-4)<0$

Vậy trong cả $2$ trường hợp phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm

 

$\boxed {Điểm: 4}$

$S = 17,3 + 4\times 3  = 29,3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:13
Tổng hợp điểm

[motdaica]

Ta có :$8x^{6}+22x^{4}-x^{3}+22x^{2}+8= 2\sqrt[3]{6x^{10}+x^{9}+6x^{8}}$

ta nhận thấy x=0 không phải là nghiệm phương trình vì khi đó VT$\neq$ VP

Chia cả 2 vế phương trình cho $x^{3}$ ta được:

 $8x^{3}+22x-1+\frac{22}{x}+\frac{8}{x^{3}}= 2\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}}$

<=> $8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1= 2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$

Đặt $x+\frac{1}{x}=a$ thì $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}= a^{3}-3a$

=> $8(x+\frac{1}{x})^{3}-2(x+\frac{1}{x})= 2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}+1$

<=> $8a^{3}-2a= 2\sqrt[3]{6a+1}+1$

<=> $8a^{3}+4a= 6a+1 +2\sqrt[3]{6a+1}$

xét hàm $f(t)=t^{3}+2t$ có $f(t)'=3t^{2}+2 >0$ với mọi t nên đây là hàm đồng biến

Vậy $f(2a)=f(\sqrt[3]{6a+1})$  <=> $2a= \sqrt[3]{6a+1}$ <=>$8a^{3}-6a=1$ (*)

Ta tìm điều kiện của a:

Xét x>0 thì $x+\frac{1}{x}\geq 2$ (bất dẳng thức cô si)

Xét x<0 thì -x>0 nên $(-x)+\frac{1}{-x}\geq 2$ (bất dẳng thức cô si) =>$x+\frac{1}{x}\leq -2$

Từ đó ta có $a\geq 2$ hoặc $a\leq -2$

Xét hàm $f(a)=8a^{3}-6a$ có $f(a)'=24a^{2}-6 >0$ với $\left | a\right |\geq 2$ nên $f(a)$ đồng biến trên $(-\infty;-2 )$ và $(2;\infty )$

Ta có $f(-2)= -52< 1$ và $f(2)=52 >1$ => phương trình (*) vô nghiệm với $\left | a \right |\geq 2$

Vậy phương trình vô nghiệm

 

$\boxed {Điểm: 10}$

$S = 50/3 + 3.10 =46,7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:15
Tổng hợp điểm

[phatthemkem]

 

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

 

Toán thủ ra đề 19kvh97

 

 

Phương trình đã cho tương đương với $8x^6-2x^2.\sqrt[3]{x^2}.\sqrt[3]{6x^2+x+6}+8+x^2\left ( 22x^2-x+22 \right )=0$

Đặt $\sqrt[3]{x^2}=a\geq 0;\sqrt[3]{6x^2+x+6}=b$. Vì $6x^2+x+6\geq \frac{143}{24},\forall x$ nên $b\geq \sqrt[3]{\frac{143}{24}}$

Ta có: $x^2=a^3;x^6=a^9;x^2.\sqrt[3]{x^2}=a^4$

      và $22x^2-x+22=\frac{11}{3}b^3-\frac{14}{3}x$

Phương trình đã cho trở thành:

$$8a^9-2a^4b+8+a^3\left ( \frac{11}{3}b^3-\frac{14}{3}x \right )=0$$

Xét biểu thức $A=8a^9-2a^4b+8+a^3\left ( \frac{11}{3}b^3-\frac{14}{3}x \right )$, ta có:

$A=a^3\left ( 8a^6-2ab+\frac{11}{3}b^3-\frac{14}{3}x \right )+8$

  $=a^3\left ( \frac{2b^3-14x}{3}+8a^6-2ab+3b^3 \right )+8$

  $=a^3\left [ \frac{2\left ( 6x^2+x+6 \right )-14x}{3}+8a^6-2ab+3b^3 \right ]+8$

  $=a^3\left [ 4\left ( x^2-x+1 \right )+\left ( 8a^6-2ab+3b^3 \right ) \right ]+8$

Với mọi $a\geq 0;b\geq \sqrt[3]{\frac{143}{24}};x\in \mathbb{R}$ thì:

$$\left\{\begin{matrix} a^3\geq 0\\ x^2-x+1\geq \frac{3}{4}> 0\\ 8a^6-2ab+3b^3\geq 0 \end{matrix}\right.$$

Suy ra $A\geq 8> 0$

Hay $8x^6-2x^2.\sqrt[3]{x^2}.\sqrt[3]{6x^2+x+6}+8+x^2\left ( 22x^2-x+22 \right )> 0,\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm hay $S=\phi$

 

 

$\boxed {Điểm: 10}$

S = 13 + 3x10 = 43

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:16
Tổng hợp điểm

[Tran Hoai Nghia]

 

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

 

Toán thủ ra đề 19kvh97

 

 

Phương trình đã cho được biến đổi là:
$8x^6-2\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+8=-22x^{4}+x^{3}-22x^{2}$

$\Leftrightarrow 8(x^{6}+1)+22(x^{4}+x^{2})-x^{3}=2\sqrt[3]{6(x^{10}+x^{8})+x^{9}}$

Vì 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia 2 vế cho $x^{3}$ ta có:

$8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$

Tiếp tục đặt $t=x+\frac{1}{x}(\left | t \right |\geqslant 2)$, ta có:

$8t^{3}=2\sqrt[3]{6t+1}+2t+1$

Đặt $\sqrt[3]{6t+1}=2u$, ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} 8t^{3}=4u+2t+1 & \\ 8u^{3}=6t+1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 8(t^{3}-u^{3})=4(u-t)$

$\Leftrightarrow 2(t-u)(t^{2}+u^{2}+ut)=-(t-u)$

$\Leftrightarrow u=t \vee 2(u^{2}+t^{2}+ut)+1=0$

Với $u=t\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt[3]{6t+1}=t\Leftrightarrow 8t^{3}=6t+1$

Đặt $t=\cos \theta$, ta có:

$2(4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )=1$

$\Leftrightarrow \cos 3\theta =\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \theta =\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\vee \theta =\frac{-\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$

Vì phương trình bậc 3 chỉ có tối đa 3 nghiệm nên ta chỉ cần tìm ra được 3 nghiệm đó là:

$-2< t=\cos \frac{5\pi }{9}<2$(loại).

$-2< t=\cos \frac{\pi }{9}<2$(loại).

$-2< t=\cos \frac{7\pi }{9}<2$(loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hoặc ta có thể dùng phương pháp hàm số để chứng minh với $t\geqslant 2\vee t\leqslant -2$ thì phương trình $8t^{3}-6t-1=0$ vô nghiệm.

Đặt $f(t)=8t^{3}-6t-1(\left | t \right |\geqslant 2)$

$\Rightarrow f'(t)=24x^{2}-6>0\forall \left | t \right |\geqslant 2$

Suy ra f(t) đồng biến trên $\left | t \right |\geqslant 2$ .Suy ra $f(t)\leqslant f(-2)=-53<0\vee f(t)\geqslant f(2)=51>0$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 

 

$\boxed{Điểm: 6}$

S = 12,7 + 6*3 + 7= 37,7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:33
Tổng hợp điểm

[Hoang Tung 126]

PT $< = > 8x^6+22x^4-x^3+22x^2+8=2\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}$

Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình .,

Xét $x$ khác 0 .Chia cả 2 vế của phương trình cho $x^{3}$

PT $< = > 8(x^3+\frac{1}{x^3})+22(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$

$< = > 8(x+\frac{1}{x})\left [ (x+\frac{1}{x})^3-3 \right ]+22(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}< = > 8(x+\frac{1}{x})^3-2(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$

Đặt $2(x+\frac{1}{x})=a$ .

PT $< = > a^3-a-1=2\sqrt[3]{3a+1}$

Đặt $\sqrt[3]{3a+1}=t= > t^3-3a-1=0$(1)

Do $a^3-a-1=2\sqrt[3]{3a+1}=2t= > a^3-2t-a-1=0$(2)

Từ (1),(2) $= > t^3-3a-1=a^3-2t-a-1< = > t^3-a^3+2t-2a=0< = > (t-a)(t^2+at+a^2+2)=0< = > t=a$(Do $t^2+at+a^2+2=(t+\frac{a}{2})^2+\frac{3a^2}{4}+2\geq 2> 0$

Do $a=t= > \sqrt[3]{3a+1}=t=a= > a^3-3a-1=0$

 Đến đây ta dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 3 rồi giải .

 

 

 

$\boxed{Điểm: 4}$

Thí sinh này chưa đăng kí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:43
Tổng hợp điểm

[chagtraife]

giải:

$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$

$\Leftrightarrow 8x^{6}+22x^4-x^3+22x^2 +8= 2\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}$ $(*)$

ta chứng minh $VT(*)> VP(*)$

ta có: $VT (*)> 8x^{6}+22x^4-x^3+22x^2$

và: $8x^{6}+22x^4-x^3+22x^2\geq\frac{2}{3}(7x^4+x^3+7x^2)  $         $(1)$

thật vậy, $(1)\Leftrightarrow x^2(24x^4+52x^2-5x+52)\geq 0$ (đúng với mọi $x$)

mặt khác, 

$\frac{2}{3}(7x^4+x^3+7x^2)  =\frac{2}{3}((6x^4+x^3+6x^2)+x^4+x^2)\geq 2\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}=VP(*)$

(cô si cho $3$ số $(6x^4+x^3+6x^2);x^4;x^2$)

vậy: $VT(*)>VP(*)$

vậy phương trình đã cho vô nghiệm!

 

 

 

$\boxed{Điểm: 10}$

S = 12,3+10*3 = 42,3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:21
Tổng hợp điểm

[diepviennhi]

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

 

Toán thủ ra đề 19kvh97

Với $x=0\rightarrow VT=8\neq VP=0$ nên $x=0$ không là nghiệm phương trình

Chia hai vế phương trình cho $x^{3}$ ta được Phương trình $\Leftrightarrow 8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})-2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}-1+22(x+\frac{1}{x})=0$

Đặt $t=x+\frac{1}{x};\begin{vmatrix} t \end{vmatrix}\geq 2$

Để ý rằng $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2;x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=(x+\frac{1}{x})^{3}-3x.\frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})=t^{3}-3t$

Thế vào phương trình $\Rightarrow 8(t^{3}-3t)-2.\sqrt[3]{6t+1}+22t-1=0\Leftrightarrow 8t^{3}-2t-1=\sqrt[3]{6t+1}$

Đặt $\sqrt[3]{6t+1}=2a\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 8a^{3}-6t-1=0\\ 8t^{3}-2t-1-2.2a=0 \end{matrix}\right.\rightarrow 8(t^{3}-a^{3})+4t-4a=0\Leftrightarrow 8(t-a)(t^{2}+ta+a^{2})+4(t-a)=0\Leftrightarrow 4(t-a)\begin{bmatrix} 2(t^{2}+ta+a^{2})+1 \end{bmatrix}=0$

Do $2(t^{2}+ta+a^{2})+1=2.(t+\frac{a}{2})^{2}+\frac{3}{2}a^{2}+1\geq 1>0$ nên ta có 

$t=a\rightarrow \sqrt[3]{6t+1}=2t\Leftrightarrow 8t^{3}-6t-1=0\Leftrightarrow 4t^{3}-3t=\frac{1}{2}$

$\star$ Nếu $t\geq 2\rightarrow t(4t^{2}-3)\geq 2.(4.2^{2}-3)=26>\frac{1}{2}$ nên phương trình $8t^{3}-6t-1=0$ vô nghiệm

$\star$ Nếu $t\leq -2 \rightarrow t(4t^{2}-3)\leq- 2.(4.2^{2}-3)=-26<\frac{1}{2}$ nên phương trình $8t^{3}-6t-1=0$ vô nghiệm

Do phương trình ẩn t vô nghiệm nên phương trình  ẩn x vô nghiệm

Vậy Phương trình đã cho vô nghiệm

 

 

$\boxed{Điểm: 10}$
S=11+3*10 = 41

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:25
Tổng hợp điểm

[Primary]

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$         (*)

*Nếu $x=0$: $(*)\Leftrightarrow 2.4=0$  (Vô lí!)

 

*Nếu $x\neq 0$: Chia 2 vế của $(*)$ cho $x^3$ ta được

 

$2\left ( 4x^3+\frac{4}{x^3}-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}} \right )=1-22x-\frac{22}{x}$

 

$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2.4.3x.\frac{1}{x}\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}=1-22\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

 

$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}-1=0$  (1)

 

*Đặt $t=x+\frac{1}{x},$  $|t|\geq 2$

 

$(1)\Leftrightarrow 8t^3-2t-2\sqrt[3]{6t+1}-1=0\Leftrightarrow (2t)^3-2.(2t)=(6t+1)+2\sqrt[3]{6t+1}$  (2)

 

Xét hàm số:  $f(y)=y^3+2y$  có đạo hàm  $f'(y)=3y^2+2>0$    $\forall y\in \mathbb{R}$

 

$\Rightarrow f(y)$  đồng biến trên  $\mathbb{R}$. Do đó

 

$(2)\Leftrightarrow f(2t)=f(\sqrt[3]{6t+1})\Leftrightarrow 2t=\sqrt[3]{6t+1}\Leftrightarrow 4t^3-3t=\frac{1}{2}$  (3)

 

*Ta chứng minh phương trình  (3) chỉ có nghiệm $t\in [-1;1]$.  Thật vậy:  

 

Đặt $t=\cos\alpha ,$  $\alpha \in \left [ 0;\pi \right ]$. Lúc đó

 

$(3)\Leftrightarrow 4\cos^3\alpha -3\cos\alpha =\frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \cos3\alpha =\frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \alpha =\pm \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$

 

$\Leftrightarrow \alpha =\frac{7\pi}{9}$  $\vee$  $ \alpha =\frac{5\pi}{9}$  $\vee$  $ \alpha =\frac{\pi}{9}$     (Do $\alpha \in [0;\pi]$)

 

 $\Rightarrow t=\cos\frac{7\pi}{9}$  $\vee$  $ t=\cos\frac{5\pi}{9}$  $\vee$  $ t=\cos\frac{\pi}{9}$

 

Mà phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm nên suy ra (3) có 3 nghiệm t như trên và 3 nghiệm đó thuộc

$[-1;1]$  

 

$\Rightarrow (2)$  chỉ có 3 nghiệm $t\in [-1;1]$ hay $(2)$ vô nghiệm trên $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

 

 

$\boxed{Điểm: 7}$

S=10,7 + 7*3 =31,7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:26
Tổng hợp điểm

[Hoang Thi Thao Hien]

 

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

 

Toán thủ ra đề 19kvh97

 

 

Tuy em không đăng ký tham gia MHS (do không đủ tuổi), nhưng em vẫn muốn đóng góp cho diễn đàn. Cách giải sau đây có lẽ sẽ dài hơn cách giải của các anh chị nhưng bài giải này hoàn toàn theo phương pháp cấp 2 mà không dính dáng gì đến cấp 3

 

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

$\Leftrightarrow 8x^6 + 22x^4 - x^3 + 22x^4 + 8 = 2\sqrt[3]{6x^10+x^9+6x^8}$

- Xét x=0 không phải là nghiệm của pt

-Xét $x\neq 0$, khi đó chia 2 vế pt cho $x^3$, pt tương đương với:

$8x^3+\frac{8}{x^3}+22x+\frac{22}{x}-1=2\sqrt[3]{6x+\frac{6}{x}+1}\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^3-22(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$

Đặt $a= x+\frac{1}{x}$, khi đó pt trên trở thành:

$8a^3-2a-1=2\sqrt[3]{6a+1}$(1). Lại đặt a = t +1, khi đó pt(1) trở thành:

$8(t+1)^3-2(t+1)-1=2\sqrt[3]{6t+7}\Leftrightarrow 8t^3+24t^2+22t+5=2\sqrt[3]{6t+7}$

Đặt $\sqrt[3]{6t+7}=2k+2$ thì ta có hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} 8t^3+24t^2+22t-4k=-1(2)\\ 8k^3+24k^2+24k-6t=-1(3)\end{matrix}\right.$

Trừ (2) cho (3), vế theo vế, ta có:

$8(t^3-k^3)+24(t^2-k^2)+28(t-k)=0\Leftrightarrow (t-k)(2t^2+2kt+k^2+6t+6k+7)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=k\\ A=2t^2+2kt+k^2+6t+6k+7=0 \end{bmatrix}$.

Mà $A=2t^2+t(2k+6)+(2k^2+6k+7)$, $\Delta _{A}=-12(k+1)^2-8< 0$nên pt vô nghiệm.

Vậy t=k, khi đó: $\sqrt[3]{6t+7}=2t+2\Leftrightarrow 8t^3+24t^2+18t+1=0$, mà t=a-1, nên thay vào ta có:

$8a^3+42a+1=0$. Đặt $a=z-\frac{1}{z}$, thì pt trên trở thành:

$8(z^3-\frac{1}{z^3})+1=0\Leftrightarrow 8z^6+z^3-8=0\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} z_{1}=\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}\\ z_{2}=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}} \end{bmatrix}$. Mà theo hệ thức Vi-et thì $z_{1}.z_{2}=-1$nên $a=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}$.

Ta có:$a=x+\frac{1}{x}\Leftrightarrow x^2-ax+1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{1}=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\\ x_{2}=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} \end{bmatrix}$với$a=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}$.

Tính toán khá là rắc rối ^^, nếu có gì sai mong mọi người thông cảm!

 

 

Bài này em không có tham gia MHS nên không có chấm điểm. Bài làm của em sai tập nghiệm là do em chưa khảo sát kĩ điều kiện của ẩn phụ $a$. Tuy nhiên CD13 rất thích cách đặt $a=t+1$ của em, điều này ngoài suy nghĩ của anh vì hầu như khi ra phương trình chứa ẩn phụ $a$ thì ai cũng đi khảo sát hàm số hết!

Mong em đóng góp nhiều cho diễn đàn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-01-2014 - 21:11

[vipkutepro]

Lời giải phương trình (file đính kèm)

 

 

 

Không đọc được file gửi kèm thì làm sao chấm?

 

 

CD13: Em nên gửi bài trực tiếp lên diễn đàn nhé!

$\boxed{Điểm: 8}$

S=9,7+3*8=33,7

File gửi kèm

•  Giải phương trình.doc   77.5K   39 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:28
Tổng hợp điểm

[bunny kizb]

Bài trước em gõ latex chưa quen nên bị lỗi cho em giải lại ạ 
Nick: bunny kizb 

Giải Phương trình:    $2(4x^{6}-\sqrt[3]{6x^{10}+x^{9}+6x^{8}}+4)= x^{2}(x-22x^{2}-22)$        (1)

+ Nếu x=0 thì phương trình (1) trở thành: 8=0 (loại)

+ Nếu x khác 0: chia 2 vế của pt (1) cho $x^{3}$ , ta được:

$2(4x^{3}-\sqrt[3]{\frac{6x^{10}+x^{9}+6x^{8}}{x^{9}}}+\frac{4}{x^{3}})= \frac{(x-22x^{2}-22)}{x}$

$\Leftrightarrow 2\left [ 4(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})-\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1} \right ]= 1-22(x+\frac{1}{x})$

$\Leftrightarrow 2\left [ 4(x+\frac{1}{x})^{3}-4\times 3\times x\times \frac{1}{x}\times (x+ \frac{1}{x})- \sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1} \right ]= 1-22(x+\frac{1}{x})$

$\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^{3}-24(x+\frac{1}{x}) - 2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=1-22(x+\frac{1}{x}) (2)$

Đặt 2( x+ $\frac{1}{x}$) = y $( \left |y \right |\geqslant 4)$

pt (2) trở thành:$y^{3}-24y-2\sqrt[3]{3y+1}=1-22y$

$\Leftrightarrow$$y^{3}-y- 2\sqrt[3]{3y+1}-1=0$

Đặt $\sqrt[3]{3y+1}$=z  ($z \leqslant\sqrt[3]{-11} hoăc z \geqslant \sqrt[3]{13}$)

$\Rightarrow z^{3}= 3y+1$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} y^{3}-y-1=2z\\z^{3}-y-1=2y \end{matrix}\right.$

trừ vế theo vế 2 phương trình của hệ ta được:

$y^{3}-z^{3}=2(z-y)$

$\Leftrightarrow (y-z)(y^{2}+z^{2}+zy+2)=0$

$\Leftrightarrow$ y=z hoặc $y^{2}+z^{2}+zy = -2$

 -TH1: y=z thì  $\sqrt[3]{3y+1} =y$    

  $\Leftrightarrow y^{3}-3y-1=0$

  phương trình này có  $\Delta = 27.1-4.3^{3}< 0$ nên có 3 nghệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2)

 mà  $( \left |y \right |\geqslant 4)$ nên phương trình trên không có nghiệm thoả mãn điều kiện 

-TH2: $y^{2}+z^{2}+zy =-2$

$\Leftrightarrow (y+\frac{z}{2})^{2}+\frac{3z^{2}}{4} = -2$ ( vô nghiệm do có VT $\geqslant$ 0, vế phải <0)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

 

 

$\boxed{Điểm: 9}$

S = 4,7+9*3 + 1 = 32,7

                                              

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:30
Tổng hợp điểm

[bunny kizb]

Mở rộng:

+) với phương trình đối xứng bậc chẵn P(x)= a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2... +a₂x²+a₁x +a₀ =0

(ĐK: a_n khác 0; a_n =a_{0 ;} a_n-1= a₁ ....       và n= 2k)

Ta đặt y= x+ $\frac{1}{x}$ bằng cách chia 2 vế phương trình cho $x^{k}$

, giải phương trình quy về phương trình bậc k 1 ẩn y

Đối với những dạng phương trình phức tạp hơn ( vd: $2(4x^{6}-\sqrt[3]{6x^{10}+x^{9}+6x^{8}}+4)= x^{2}(x-22x^{2}-22)$ )

nếu thấy trong phương trình có các hạng tử có dạng pt đối xứng bậc chẵn, ta nghĩ ngay đến vệc chia để đưa về ( x+$\frac{1}{x}$)
Ví dụ như bài toán trên , ta thấy có các hạng tử có dạng đối xứng như sau:

$4x^{4}+4$

$6x^{10}+x^{9}+6x^{8}$

$-22x^{2}+x-22$

ta chia 2 vế pt cho $x^{3} để đưa về x+\frac{1}{x}$

+) Với phương trình dạng $y^{3}-3y-1$ ta có các cách giải tổng quát hoá như sau:

   Cách 1: $x ^{3}+ px + q = 0$ (Công thức Cardan - Tartaglia)  
- Đặt x = u-v sao cho uv = $\frac{p}{3}$ (1)
- Từ pt, ta có : $(u - v)^{3}+ 3uv(u - v) = u^{3} - v^{3} = q$ (2)

- Từ (1) và (2) ta tìm được u,v. ta được một nghiệm x=u+v
 Cách 2: giải bằng phương pháp lượng giác hoá

- đặt y=2acost với a>0 , t thuộc $\left [ 0;\pi \right ]$

- pt trở thành: 8$a^{3}$cos3t + 2apcost + q = 0
         <=> 2$a^{3}$(4cos3t +$\frac{p}{a^{2}}$cost) + q = 0
- Tìm a thỏa mãn $\frac{p}{a^{2}}$= -3  

   2$a^{3}$cos3t = -q

 $\Rightarrow 3t= arccos\left ( \frac{-q}{2a^{3}} \right )$

 $\Rightarrow y=...$

 

 

 

CD13: Bài này thực ra không phải là mở rộng của bài toán, chẳng qua là trình bày cách giải phương trình bậc ba khuyết mà thôi!

Cho $1$ điểm phần "mở rộng" này!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 12-01-2014 - 07:37

[THYH]

$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$
$\Leftrightarrow 8x^6+8-2\sqrt[3]{x^9(6x+\frac{6}{x}+1)}=x^2(x-22x^2-22)$
$\Leftrightarrow 8\left [ (x^2)^3+1 \right ]-2x^3\sqrt[3]{6x+\frac{6}{x}+1}=x^2(x-22x^2-22)$
$\Leftrightarrow 8(x^2+1)(x^4-x^2+1)-2x^3\sqrt[3]{6x+\frac{6}{x}+1}=x^2(x-22x^2-22)$\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1)-2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=1-22x-\frac{22}{x}$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ ,$t\geq 2$
Khi đó phương trình trên trở thành :
$8t(t^2-3)-2\sqrt[3]{6t+1}=1-22t$
$\Leftrightarrow (2t)^3+2.2t=6t+1+2\sqrt[3]{6t+1}$
$\Leftrightarrow (2t-\sqrt[3]{6t+1})\left [ (2t-\sqrt[3]{6t+1})^2+3.2t.\sqrt[3]{6t+1} \right ]+2(2t-\sqrt[3]{6t+1})=0$
$\Leftrightarrow (2t-\sqrt[3]{6t+1})\left [ (2t-\sqrt[3]{6t+1})^2+3.2t.\sqrt[3]{6t+1}+2 \right ]=0$
$\Leftrightarrow 2t=\sqrt[3]{6t+1}$ hoặc $(2t-\sqrt[3]{6t+1})^2=-3.2t.\sqrt[3]{6t+1}-2$ ( Vô lý do $t\geq 2$)
$\Leftrightarrow 8t^3-6t+1=0$

$\Leftrightarrow t_1=0,9397;t_2=-0,1736;t_3=-0,766$ ;Loại do $t\geq 2$

 

S=1

 

 

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 17-01-2014 - 07:36
Chấm bài

[nhatlinh3005]

Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia hai vế của phương trình cho $x^{3}$khi đó ta có: 

$2(4x^{6}-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)= x^2(x-22x^2-22)$

$\Leftrightarrow 8x^3-2\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}}+\frac{8}{x^3} =1-22x-\frac{22}{x}$   (1)

$\Leftrightarrow 8(x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3})-2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=1+2(x+\frac{1}{x})$ 

$\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^3-2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=1+2(x+\frac{1}{x})$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$, khi đó 

$(1)\Leftrightarrow 8t^3-2\sqrt[3]{6t+1}=1+2t$

     $\Leftrightarrow 8t^3=1+2t+2\sqrt[3]{6t+1}$

Đặt $2y=\sqrt[3]{6t+1}$ ta được hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 8t^3=2t+1+4y     (a)& & \\ 8y^3=6t+1    (b) & & \end{matrix}\right.$

 

Lấy (a)-(b) vế theo vế ta được phương trình:

    $8(t^3-y^3)=-4(t-y)$

$\Leftrightarrow 8(t-y)(t^2+ty+y^2)=-4(t-y)$

$\Leftrightarrow  (t-y)[2(t^2+yt+y^2)+1]=0$

$\Leftrightarrow t-y=0 $    (Vì  $2(t^2+yt+t^2)+1>0,\forall y,t\in \mathbb{R}$)

$\Leftrightarrow t=y $

Thay y=t vào (b) ta được:

                   $8t^3-6t = 1 \Leftrightarrow 4t^3-3t = cos(\frac{\pi}{3})$

Sử dụng công thức $4cos^3\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}=cos\alpha$    ta suy ra được các giá trị của lần lượt là:$t=cos\frac{\pi}{9}$;   $t=cos\frac{5\pi}9$;    $t=cos\frac{7\pi}{9}$

Thay lần lượt các giá trị của t vào  phương trình $x^2-xt+1=0$ suy ra x.          

Giải các phương trình không có nghiệm x thỏa mãn

 

KẾT LUẬN:   VẬY PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VÔ NGHIỆM 

 

 

$\boxed{Điểm: 5}$

S = 2 + 5*3 = 17

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:32
Tổng hợp điểm

[Niels Henrik Abel edu1998]

Latex của em bị đơ nên em không thể nào nộp bài thi với lời giải chi tiết được và em đã dùng mọi cách để cứu chữa rồi nhưng đều vô vọng nên em chỉ xin trình bài cách giải thôi! Mong mọi người thông cảm và bỏ quá cho em ạ!

Hướng giải

Chia cả hai vế của phương trình cho x^3 ta được phương trình mới

Đặt tất cả cái trong căn bậc 3 là a

sau đó ta biểu thị được x+1/x theo a

ta được phương trình bậc 9 ẩn a là:

a^9-3a^6-6a^3-54a-19=0

phân tích đa thức thành nhân tử ta được (a^3-3a-1)(a^6+3a^4-2a^3+9a^2-3a+19)=0

ta dễ cm a^6+3a^4-2a^3+9a^2 -3a+19=0 thì phương trình vô nghiệm

Cái còn lại là a^3-3a-1=0 . Bây giờ ta chú ý lại đk của a ta dễ thấy a^2>4 (sử dụng bđt AM-GM cho x+1/x trong căn thức)

ta thấy với đk của a như trê thì phương trình a^3-3a-1=0 vô nghiệm (cm thì chia cả hai vế cho a là xong)

Kết luận: phương trình ban đầu vô nghiệm

 

Xin mọi người thông cảm vì rào cản latex không copy được nên ngôn ngữ hạn hẹp có gì đọc không hiểu thông cảm cho em nhé!

 

 

Tổ trọng tài không cần chấm bài làm của em đâu! cứ coi như em không nộp bài đi! Chấm vào thì em cảm thấy hổ thẹn và cũng giảm bớt gánh nặng cho tổ trọng tài! Mục đích tham gia thi MHS của em là học hỏi các anh và vui là chính mà!

 

 

OK, không tốn công tí nào đâu!

$\boxed{0 điểm}$ 

He he

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 12-01-2014 - 07:40

[Tran Hoai Nghia]

 

Giải phương trình:

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$

 

Toán thủ ra đề 19kvh97

 

 

Mở rộng: Ta sẽ xét một dạng phương trình tương tự như phương trình trên.Nói về phương trình trên thì với các hệ số đối xứng và tồn tại căn như vậy thì nên đặt $t=x+\frac{1}{x}(\left | t \right |\geqslant 2)$ hoặc $t=x-\frac{1}{x}(\forall t\in \mathbb{R})$.Mở rộng dưới đây ta xét phương trình khá đơn giản có cách đặt thứ nhất: 

$ax^{n+3}+bx^{n+2}+cx^{n+1}+dx^{n}+cx^{n-1}+bx^{n-2}+ax^{n-3}=p\sqrt[3]{ex^{3n+1}+fx^{3n}+ex^{3n-1}}$$n\geqslant 3,n\in \mathbb{N}$(hoặc các dạng khác có hình thức và cách giải tương đương).(1)

Nếu $n>3$ thì phương trình có nghiệm $x=0$.(1) tương đương:

$ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+cx^{2}+bx+a=p\sqrt[3]{ex^{10}+fx^{9}+ex^{8}}$

Chia 2 vế của phương trình cho $x^(3)$, ta được:

$a(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+b(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+c(x+\frac{1}{x})+d=p\sqrt[3]{e(x+\frac{1}{x})+f}$

Đặt  $t=x+\frac{1}{x}(\left | t \right |\geqslant 2)$ , ta có:

$at^{3}+bt^{2}+(c-3a)t+d-2b=p\sqrt[3]{et+f}$(2)

Tới đây ta có 2 hướng đi:

+Phương pháp biến thiên của hàm số:Nếu p<0 thì vế phải là hàm nghịch biến, ta chỉ cần xét vế trái đồng biến là xong:
$f(t)=at^{3}+bt^{2}+(c-3a)t+d-2b$($\left | t \right |\geqslant 2$).

+Giải hệ đối xứng loại 2: biến đổi (2) về dạng:

$(At+B)^{3}=p\sqrt[3]{et+f}+qt+r$

-Đặt $\sqrt[3]{et+f}=Au+B(pA>0)$ hay $\sqrt[3]{et+f}=-Au-B(pA<0)$.

Ta sẽ có hệ:

$\left\{\begin{matrix} (At+B)^{3}=p(Au+B)+qt+r & \\ (Au+B)^{3}=et+f & \end{matrix}\right.$(xét trường hợp pA>0, trường hợp còn lại tương tự)

Nếu $\left\{\begin{matrix} pA=q-e & \\ pB+r=f& \end{matrix}\right.$ thì ta chỉ cần giải hệ phương trình đối xứng loại 2 là xong.

Xét trường hợp $u=t\Leftrightarrow \sqrt[3]{et+f}=t\Leftrightarrow t^{3}-et+f=0$, ta giải phương trình này bằng 2 cách:

+Cách 1:Khảo sát xem hàm số có đồng biến hay nghịch biến trên $\left | t \right |\geqslant 2$ hay không.

+Cách 2:Nếu $\frac{e^{2}}{4}<\frac{f^{3}}{27}$ thì ta đặt $t=\sqrt{\frac{4e}{3}}\cos u$, ta được một phương trình lượng giác cơ bản.(nhớ là  $\left | t \right |\geqslant 2$).

+Cách 3: Nếu cả 2 cách trên không thỏa thì ta phải dùng công thức cardano.(nhớ là  $\left | t \right |\geqslant 2$)

Cuối cùng giải theo ẩn x.

Đối với những phương trình vừa có căn, biểu thức trong căn và biểu thức bên ngoài có hệ số đối xứng thì phương pháp đặt ẩn phụ và giải hệ đối xứng loại 2 là chủ chốt.

 

 

 

$\boxed{Điểm: 7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 12-01-2014 - 07:43

[BoFaKe]

Biến đổi phương trình thành : 

$$8x^{6}-x^{3}+8+2x^{2}(11x^{2}+11-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})=0$$

Ta có : $$2x^{2}+2-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}$$

$$=\frac{(2x^{2}+2)^{3}-6x^{2}-x-6}{(2x^{2}+2)^{2}+(2x^{2}+2)\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}+(\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})^{2}}$$

$$= \frac{8x^{6}+24x^{4}+18x^{2}-x+2}{A}$$

$$=\frac{(8x^{6}+24x^{4}+17x^{2}+1)+(x^{2}-x+1)}{A}> 0$$

 nên $$2x^{2}+2-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}>0$$

$$\Rightarrow 2x^{2}(11x^{2}+11-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})\geq 0$$

Và $$8x^{6}-x^{3}+8=7x^{6}+7+x^{6}-x^{3}+1> 0$$

Cộng 2 vế lại ta có phương trình đã cho VN.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 

 

$\boxed{Điểm: 2}$

$S = 2+1=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:47
Tổng hợp điểm