Chủ đề này có 54 trả lời

[25 minutes]

nó phải là $f(a)=a^3-a-1-2\sqrt[3]{3a+1}$ thiếu hệ số $2$

Ừm cảm ơn bạn, tại mình làm ra giấy rồi đánh vào web sau nên có chỗ không được đồng nhất cho lắm.

[nhatlinh3005]

mình quên đặt điều kiện cho t nên chắc bị trừ điểm rồi i !!! mà không biết khi nào mới có điểm nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatlinh3005: 10-01-2014 - 22:45

[E. Galois]

Thời gian thảo luận của các toán thủ đã hết, trọng tài CD13 bắt đầu chấm bài.

Từ trận sau, toán thủ nào tự sửa thảo luận của mình thì thảo luận đó sẽ không được tính

[CD13]

Đại diện trọng tài MHS, CD13 nói một vài điều: Đầu tiên hoan nghênh các em đã tham gia cuộc thi MHS do VMF tổ chức, mọi cách giải và nhận xét của các em trong lúc thi và sau khi thi đều được ghi nhận. Bài đã chấm xong, các em có thể thắc mắc điểm số của mình từ thời điểm này cho đến hết 24 giờ sau. Một vài lưu ý cho các em khi tham gia các vòng tiếp theo!

+ Bài giải gửi về nên trình bày Latex rõ ràng, đừng để bị lỗi. Chúng ta có chức năng xem thử thì các em nên khai thác triệt để.

+ Chuyển bài giải từ giấy sang Latex chắc chắn có nhiều sai sót (điều này ai cũng có), nhưng đây là kì thi thì các em phải chịu thôi (mặc dù CD13 biết các mem này rất giỏi!).

+ Đây là kì thi các em không được trình bày theo kiểu: hướng dẫn cách giải, bỏ sót trường hợp,...

+ Nói thêm chỗ phương trình $8x^3-6x=1$. Đây là phương trình cơ bản $4x^3-3x=m$, nếu tồn tại $\alpha$ sao cho $m=\cos \alpha$ thì phương trình có nghiệm $\cos \frac{\alpha}{3},\cos \frac{\alpha +2\pi}{3}, \cos \frac{\alpha -2\pi}{3}$. Nghĩa là với bài toán cụ thể trong trận đấu này thì phương trình luôn có 3 nghiệm! Nhưng dù thế CD13 vẫn trừ điểm câu "Đặt $x=\cos t$ vì viết như vậy mặc nhiên các em đã gán giá trị $x \in [-1;1]$, các em nên lí luận với $|x| \ge 2$ thì phương trình vô nghiệm, nó sẽ chặt chẽ hơn cách giải lượng giác rồi kết luận vô nghiệm.

+ Các em có nhiều cách giải thì nên trình bày sau vì như thế sẽ được cho điểm thêm, nhưng đồng thời trình bày trong bài làm thi của mình thì...........lại bị CD13 trừ điểm! Rút kinh nghiệm nhé (BTC muốn thông qua kì thi này tập cho các em lối trình bày logic để dễ dàng thi Đại học nên tuyệt đối trong bài thi không viết lung tung!)

+ Lưu ý, các em có thể nhận xét bài làm của nhau vẫn được điểm nhưng trong trận này thì chỉ có người ra đề là nhận xét. Hy vọng trận sau các em cố gắng phát huy điểm này!

Một vài nhận xét, chúc các em có sân chơi bổ ích!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 12-01-2014 - 08:28

[Tran Hoai Nghia]

Mở rộng: Ta sẽ xét một dạng phương trình tương tự như phương trình trên.Nói về phương trình trên thì với các hệ số đối xứng và tồn tại căn như vậy thì nên đặt $t=x+\frac{1}{x}(\left | t \right |\geqslant 2)$ hoặc $t=x-\frac{1}{x}(\forall t\in \mathbb{R})$.Mở rộng dưới đây ta xét phương trình khá đơn giản có cách đặt thứ nhất: 

$ax^{n+3}+bx^{n+2}+cx^{n+1}+dx^{n}+cx^{n-1}+bx^{n-2}+ax^{n-3}=p\sqrt[3]{ex^{3n+1}+fx^{3n}+ex^{3n-1}}$$n\geqslant 3,n\in \mathbb{N}$(hoặc các dạng khác có hình thức và cách giải tương đương).(1)

Nếu $n>3$ thì phương trình có nghiệm $x=0$.(1) tương đương:

$ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+cx^{2}+bx+a=p\sqrt[3]{ex^{10}+fx^{9}+ex^{8}}$

Chia 2 vế của phương trình cho $x^(3)$, ta được:

$a(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+b(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+c(x+\frac{1}{x})+d=p\sqrt[3]{e(x+\frac{1}{x})+f}$

Đặt  $t=x+\frac{1}{x}(\left | t \right |\geqslant 2)$ , ta có:

$at^{3}+bt^{2}+(c-3a)t+d-2b=p\sqrt[3]{et+f}$(2)

Tới đây ta có 2 hướng đi:

+Phương pháp biến thiên của hàm số:Nếu p<0 thì vế phải là hàm nghịch biến, ta chỉ cần xét vế trái đồng biến là xong:
$f(t)=at^{3}+bt^{2}+(c-3a)t+d-2b$($\left | t \right |\geqslant 2$).

+Giải hệ đối xứng loại 2: biến đổi (2) về dạng:

$(At+B)^{3}=p\sqrt[3]{et+f}+qt+r$

-Đặt $\sqrt[3]{et+f}=Au+B(pA>0)$ hay $\sqrt[3]{et+f}=-Au-B(pA<0)$.

Ta sẽ có hệ:

$\left\{\begin{matrix} (At+B)^{3}=p(Au+B)+qt+r & \\ (Au+B)^{3}=et+f & \end{matrix}\right.$(xét trường hợp pA>0, trường hợp còn lại tương tự)

Nếu $\left\{\begin{matrix} pA=q-e & \\ pB+r=f& \end{matrix}\right.$ thì ta chỉ cần giải hệ phương trình đối xứng loại 2 là xong.

Xét trường hợp $u=t\Leftrightarrow \sqrt[3]{et+f}=t\Leftrightarrow t^{3}-et+f=0$, ta giải phương trình này bằng 2 cách:

+Cách 1:Khảo sát xem hàm số có đồng biến hay nghịch biến trên $\left | t \right |\geqslant 2$ hay không.

+Cách 2:Nếu $\frac{e^{2}}{4}<\frac{f^{3}}{27}$ thì ta đặt $t=\sqrt{\frac{4e}{3}}\cos u$, ta được một phương trình lượng giác cơ bản.(nhớ là  $\left | t \right |\geqslant 2$).

+Cách 3: Nếu cả 2 cách trên không thỏa thì ta phải dùng công thức cardano.(nhớ là  $\left | t \right |\geqslant 2$)

Cuối cùng giải theo ẩn x.

Đối với những phương trình vừa có căn, biểu thức trong căn và biểu thức bên ngoài có hệ số đối xứng thì phương pháp đặt ẩn phụ và giải hệ đối xứng loại 2 là chủ chốt.

 

 

 

$\boxed{Điểm: 7}$

Bài của em có tiếu sót chỗ nào mà mất tới 4 điểm vậy thầy CD13, thầy chỉ rõ cho em để em rút kinh nghiệm trong kỳ thi đại học sắp tới, thanks thầy.

[25 minutes]

$4$ điểm, thấp nhất trong số những người được chấm, chỉ vì lỗi Latex nhầm

MHS thật là khốc liệt mà

[Tran Hoai Nghia]

Phương trình đã cho được biến đổi là:
$8x^6-2\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+8=-22x^{4}+x^{3}-22x^{2}$

$\Leftrightarrow 8(x^{6}+1)+22(x^{4}+x^{2})-x^{3}=2\sqrt[3]{6(x^{10}+x^{8})+x^{9}}$

Vì 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia 2 vế cho $x^{3}$ ta có:

$8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$

Tiếp tục đặt $t=x+\frac{1}{x}(\left | t \right |\geqslant 2)$, ta có:

$8t^{3}=2\sqrt[3]{6t+1}+2t+1$

Đặt $\sqrt[3]{6t+1}=2u$, ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} 8t^{3}=4u+2t+1 & \\ 8u^{3}=6t+1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 8(t^{3}-u^{3})=4(u-t)$

$\Leftrightarrow 2(t-u)(t^{2}+u^{2}+ut)=-(t-u)$

$\Leftrightarrow u=t \vee 2(u^{2}+t^{2}+ut)+1=0$

Với $u=t\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt[3]{6t+1}=t\Leftrightarrow 8t^{3}=6t+1$

Đặt $t=\cos \theta$, ta có:

$2(4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )=1$

$\Leftrightarrow \cos 3\theta =\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \theta =\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\vee \theta =\frac{-\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$

Vì phương trình bậc 3 chỉ có tối đa 3 nghiệm nên ta chỉ cần tìm ra được 3 nghiệm đó là:

$-2< t=\cos \frac{5\pi }{9}<2$(loại).

$-2< t=\cos \frac{\pi }{9}<2$(loại).

$-2< t=\cos \frac{7\pi }{9}<2$(loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hoặc ta có thể dùng phương pháp hàm số để chứng minh với $t\geqslant 2\vee t\leqslant -2$ thì phương trình $8t^{3}-6t-1=0$ vô nghiệm.

Đặt $f(t)=8t^{3}-6t-1(\left | t \right |\geqslant 2)$

$\Rightarrow f'(t)=24x^{2}-6>0\forall \left | t \right |\geqslant 2$

Suy ra f(t) đồng biến trên $\left | t \right |\geqslant 2$ .Suy ra $f(t)\leqslant f(-2)=-53<0\vee f(t)\geqslant f(2)=51>0$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 

 

$\boxed{Điểm: 6}$

Bài của em có tiếu sót chỗ nào mà mất tới 4 điểm vậy thầy CD13, thầy chỉ rõ cho em để em rút kinh nghiệm trong kỳ thi đại học sắp tới, thanks thầy.  ( có lẽ do cái này:

 

+ Các em có nhiều cách giải thì nên trình bày sau vì như thế sẽ được cho điểm thêm, nhưng đồng thời trình bày trong bài làm thi của mình thì...........lại bị CD13 trừ điểm! Rút kinh nghiệm nhé (BTC muốn thông qua kì thi này tập cho các em lối trình bày logic để dễ dàng thi Đại học nên tuyệt đối trong bài thi không viết lung tung!)

 

[vipkutepro]

Thầy xem giúp bài em sao lại được 8 điểm thế?

[19kvh97]

sao chưa có điểm cho người ra đề vậy ạ

[E. Galois]

Điểm ra đề:

$D = 9*3+2+5+15=49$

[CD13]

Bài của em có tiếu sót chỗ nào mà mất tới 4 điểm vậy thầy CD13, thầy chỉ rõ cho em để em rút kinh nghiệm trong kỳ thi đại học sắp tới, thanks thầy.  ( có lẽ do cái này:

Bài của em có những lỗi như sau:

1/ Khi em dẫn ra được "$u=t$ hoặc $2(u^2+t^2+ut)+1=0$", sau đó em đi tìm nghiệm từ phương trình $u=t$ mà "bỏ quên" $2(u^2+t^2+ut)+1=0$. Trong trường hợp này ít ra em cũng nên khẳng định $2(u^2+t^2+ut)+1>0$

2/ Em đã trình bày 2 hướng giải trong bài làm.

3/ Mắc lỗi chỗ đặt $t=\cos \alpha$. Điều này không đúng vì điều kiện của $t$ (mặc dù phía sau em có giải thích phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm), thà rằng em đi giải độc lập phương trình biến $y$ nào đó rồi khẳng định vô nghiệm!

[Niels Henrik Abel edu1998]

Còn mình được 0 mà! Chỉ nói thế mà thầy CD13 không chấm thật   ! Nhưng quả thực bài làm của chẳng tốn chút ít công lao nào  ! Nhưng thầy cũng nên cho em 1  để động viên em chứ  ! Thầy chả hiểu tâm lý trẻ em gì cả !

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Niels Henrik Abel edu1998: 18-01-2014 - 21:20

[CD13]

Còn mình được 0 mà! Chỉ nói thế mà thầy CD13 không chấm thật   ! Nhưng quả thực bài làm của chẳng tốn chút ít công lao nào  ! Nhưng thầy cũng nên cho em 1  để động viên em chứ  ! Thầy chả hiểu tâm lý trẻ em gì cả !

Gõ Latex không được thì em có thể gõ trên word rồi gửi file lên, tuy nhiên có thể bị trừ điểm chút ít (1-2 điểm) còn đỡ hơn đằng này 0 điểm!

[Niels Henrik Abel edu1998]

Cách đấy em đã cũng thử qua rồi thầy ạ ! Nhưng không đính vào được bài! Còn cách là làm lời giải ra giấy rồi chụp ảnh lại rồi cũng không đính vào bài được thầy ạ !

[King of Maths]

Ai biết đăng kí thi chỉ với sao không tìm thấy chỗ nào để đăng kí thi cả ! giúp với.