PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN( NGUYÊN TẮC XUỐNG THANG)
Phương pháp lùi vô hạn( hay là nguyên tắc xuống thang) là phương pháp được sử dụng khá nhiều trong phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{3}+3y^{3}=9z^{3}$ (1)
Lời giải: Từ (1) dễ thấy $x\vdots 3$ nên đặt $x=3x_{1}$.Suy ra phương trình (1) trở thành
$9{x_{1}}^{3}+y^{3}=3z^{3}$ (2). Từ đây ta suy ra $y\vdots 3$ => $y=3y_{1}$.Thay vào (2) ta được: $3{x_{1}}^{3}+9y^{3}=z^{3}$.Ta lại suy ra $z\vdots 3$.Phương trình bây giờ là:
${x_{1}}^{3}+3{y_{1}}^{3}=9{z_{1}}^{3}$
Nếu (x;y;z) là 1 bộ nghiệm của (1) thì ($x_{1}$;$y_{1}$;$z_{1}$) cũng là 1 bộ nghiệm
Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến kết luận x,y,z chia hết cho $3^{k}$ với k là số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉ đúng với x = y = z = 0
Nhận xét: Nếu đề bài tương tự như trên nhưng tìm nghiệm nguyên dương các bạn có thể giải như sau. Giả sử (X,Y,Z) là bộ nghiệm của (1) với X nhỏ nhất mà x có thể nhận. Theo cách 1 thì ($X_{1}$; $Y_{1}$;$Z_{1}$) là 1 bộ nghiệm của (1) với ($X=2X_{1}$;$Y=2Y_{1}$$Z=2Z_{1}$ ).Mà ta đã giả sử X nhỏ nhất => mâu thuẫn .Vậy phương trình không có nghiện nguyên dương
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}.y^{2}$ (*)
Lời giải: Giả sử x,y đều lẻ thì z chẵn => VT(*) chia cho 4 dư 2, VP(*) chia cho 4 dư 1( vô lý)
Vậy tồn tại 1 trong 2 số x,y chẵn. Gọi x là số chẵn => $y^{2}+z^{2}\vdots 4$ => y,z chẵn
Từ đây ta suy ra $x=2x_{1}$;$y=2y_{1}$;$z=2z_{1}$. Thay vào pt (*) ta được:
${x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}+{z_{1}}^{2}=4{x_{1}}^{2}.{y_{1}}^{2}$
Cứ tiếp tục như vậy ta được : x,y,z chia hết $\vdots 2^{k}$. Điều này chỉ đúng với x = y = z = 0
Ví dụ 3:Tìm hai phân số hữu tỉ sao cho tổng bình phương của chúng bằng 3.
Lời giải: Gọi hai phân số đó là: $\frac{x}{z}$;$\frac{y}{z}$ ( với x,y,z nguyên và z khác 0)
Theo đề bài ta có: $x^{2}+y^{2}=3z^{2}$ => $x^{2}+y^{2}\vdots 3$ => x,y chi hết cho 3
Đặt $x=3x_{1}$;$y=3y_{1}$. Thế vào phương trình ta được:
$3{x_{1}}^{2}+3{y_{1}}^{2}=z^{2}$
Từ đây suy ra $z=3z_{1}$ => ${x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}=3{z_{1}}^{2}$
Tiếp tục như vậy ta cm được: x,y,z chia hết cho $3^{k}$ => x = y = z = 0